介绍一种快速求 (dbinom{n}{m}) 的方法。
其实就是根据定义来做的做法
我们知道 (dbinom{n}{m} mod (1e9+7)=frac{n imes (n-1) imesdots imes(n-m+1)}{1 imes 2 imesdots imes m} mod (1e9+7))。
为方便表达，我们设 (x=n imes (n-1) imesdots imes(n-m+1)) （即右边的分子），(y=1 imes 2 imesdots imes m) （即右边的分母）。
然后就有
[dbinom{n}{m} mod (1e9+7)=frac{x}{y} mod (1e9+7)
]
由费马小定理得
[y imes y^{(10^9+7)−2} mod (10^9 + 7) = 1
]
两边同时乘上 (y^{-1}) 得
[y^{(10^9+7)-2} mod (10^9+7)=y^{-1}
]
因为 (y^{-1}) 是 (y) 的逆元，所以就有
[frac{x}{y} mod(10^9+7) = x imes y^{(10^9+7)-2} mod (10^9+7)
]
代码实现起来也不难。
inline LL qpow(LL a, LL b) //快速幂，用于求逆元
{
LL res = 1;
while (b)
{
if (b & 1) res = (res * a) % mod;
a = a * a % mod, b >>= 1;
}
return res % mod;
}
inline LL work(int n, int m) //求 C(n, m)
{
LL s = 1, c = 1;
for (int i = 1; i <= m; i+=1)
s = (s * i) %mod; //计算分母
for (int i = n - m + 1; i <= n; i++)
c = (c * i) % mod; //计算分子
return (c * qpow(s, mod - 2)) % mod; //求出值
}
P.S. 部分参考自 AtCoder Beginner Contest 156 D题题解