网红题之一题多变$;; ext{e}^xgeqslant x^2+( ext{e}-2)x+1(x>0)$

母题

证明$:;; ext{e}^xgeqslant x^2+( ext{e}-2)x+1;;(x>0)$

注$:;$用不同的结构变形来证明

变式1：

若$forall xin(0,+infty),;; ext{e}^xgeqslant x^2+kx+1$ 恒成立$,;;$求实数$k$的取值范围$.$

注$:;$端点效应“不端点”(仅必要不充分)问题

变式2：

若$forall xin(0,+infty),;; ext{e}^xgeqslant a(x-a)(x-1)+ ext{e}x$ 恒成立$,;;$求实数$a$的取值的集合$.$

注$:;$极值点效应问题(仿“端点效应”给的名称$,$还请各位看官海涵)

变式3：

若$forall xin(0,+infty),;; ext{e}^xgeqslant ext{e}a(x+frac{3}{2}a)(x-1)^2+ ext{e}x$ 恒成立$,;;$求实数$a$的取值的集合$.$

注$:;$极值点效应“不极值”问题

变式4：

若$a>0,;;$证明$:;;forall xin(0,+infty),;; ext{e}^xgeqslant (x-1)^2+frac{ln x}{a}+frac{ln a+2}{a}$

注$:;$视元问题