已知函数\(f(x)=a\ln x-\dfrac{1}{2}x^2+bx\)存在极小值，对于所有\(b\)的可能取值，\(f(x)\)的极小值恒大于\(0\)，则\(a\)的最小值为\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)
【分析】\(f'(x)=\dfrac{a}{x}-x+b=\dfrac{-x^2+bx+a}{x}=\dfrac{h(x)}{x}(x>0)\)
设方程\(h(x)=0\)的两根为\(m\)和\(n\)(其中\(0<m<n\))，则\(h(m)=0\Rightarrow -m^2+bm+a=0\)
\(\Rightarrow \triangle=b^2+4a>0 ， mn=-a ，0<m<n，\)
\(\Rightarrow 0<m<\sqrt{-a}\)
\(\Rightarrow\)函数\(f(x)\)的极小值为\(f(m)=a\ln m-\dfrac{1}{2}m^2+bm=a\ln m+\dfrac{1}{2}m^2-a\)
\(\Rightarrow f'(m)=\dfrac{a}{m}+m=\dfrac{m^2+a}{m}=\dfrac{(m+\sqrt{-a})(m-\sqrt{a})}{m}\)
\(\Rightarrow f(m)_{_{min}}=f(\sqrt{-a})=a\ln\sqrt{-a}-\dfrac{3}{2}a\geqslant 0\)
\(\Rightarrow -\text{e}^3\leqslant a<0\)，其余略。
