2017年高考全国卷3理科数学21题(1)的做法探究

已知函数$f(x)=x-1-aln x$

(1)若$f(x)geqslant 0$，求$a$的值$.$

魏刚 2017年6月8日於狮子山上

我的解法1：评卷老师会给满分吗？(道理看之前的内容)

(f(x)geqslant 0=f(1)Rightarrow x=1)是(f(x))的极值点

(Rightarrow f'(1)=0Rightarrow a=1)(这仅仅是必要条件，还需要验证，此处略去)

我的解法2：切线放缩法

易证(ln xleqslant x-1)(证明略)

((1))当(aleqslant 0)时，$aln xgeqslant a(x-1)Rightarrow x-1geqslant a(x-1)Rightarrowleft{

egin{array}{ll}
x>1
aleqslant 1
end{array}
ight.(且)left{
egin{array}{ll}
0<x<1
ageqslant 1
end{array}
ight.Rightarrow a=1(与)aleqslant 0$矛盾，此时无解；

((2))当(a> 0)时，(aln xleqslant a(x-1))

$1^circ x-1leqslant a(x-1)Rightarrowleft{

egin{array}{ll}
x>1
ageqslant 1
end{array}
ight.(且)left{
egin{array}{ll}
0<x<1
aleqslant 1
end{array}
ight.Rightarrow a=1$；

$2^circ x-1geqslant a(x-1)Rightarrowleft{

egin{array}{ll}
x>1
aleqslant 1
end{array}
ight.(且)left{
egin{array}{ll}
0<x<1
ageqslant 1
end{array}
ight.Rightarrow a=1$；

综上可知，(a=1.)

我的解法3：一定不妥的解法，估计学生会这样做！(与解法1结合就是满分！道理自己想！)

先猜(a=1)

接着证(ln xleqslant x-1)

证明：令(g(x)=x-1-ln xRightarrow g'(x)=1-dfrac{1}{x}=dfrac{x-1}{x}Rightarrow g(x))在((0)，(1))上单调递减，在((1)，(+infty))上单调递增，(g(x)geqslant 0Rightarrow ln xleqslant x-1.)

这种方法逻辑上存在问题，虽然答案正确(.)

我的解法4：有点超纲，用到洛必达法则！

(f(x)geqslant 0Rightarrow x-1geqslant aln x)

构造函数(g(x)=dfrac{x-1}{ln x}Rightarrow g'(x)=dfrac{ln x-1-frac{1}{x}}{ln^2 x}=dfrac{h(x)}{ln^2 x})

(Rightarrow h'(x)=x-dfrac{1}{x^2}=dfrac{x-1}{x^2}Rightarrow h(x))在((0)，(1))上单调递减，在((1)，(+infty))上单调递增，

(Rightarrow h(x)geqslant 0Rightarrow g'(x)geqslant 0Rightarrow g(x))在((0)，(1))上单调递增，在((1)，(+infty))上单调递增，

而且(limlimits_{x o 1 }dfrac{x-1}{ln x}=limlimits_{x o 1 }dfrac{1}{frac{1}{x}}=1)

当(x>1)时，(aleqslant dfrac{x-1}{ln x} o 1(x o 1))；

当(0<x<1)时，(ageqslant dfrac{x-1}{ln x} o 1(x o 1))；

综上可知，(a=1.)

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方法四：看参考答案

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