图（二）

最小生成的树

图中的所有顶点（V）只用最少数量的边（E）保证它们彼此连通，就组成最小生成的树。

注意，最小生成的树边（E）的数量总比顶点（V）的数量少1，即：E = V - 1 ；

记住，不必关心边的长度，不需要找到最短路径，而是找最少数量的边。（在带权图中会发生改变）

创建最小生成的树的算法与遍历几乎相同，它同样可以基于深度优先遍历或广度优先遍历。下面是基于深度优先遍历的代码：

    public void mst(){
        vertexArray[0].setVisited(true);
        stack.push(0);

        while (!stack.isEmpty()) {
            int currentVertex = stack.peek();
            int v = getAdjUnvisitedVertex(currentVertex);
            if (v == -1) {
                stack.pop();
            }
            else {
                vertexArray[v].setVisited(true);
                stack.push(v);
                displayVertex(currentVertex);
                displayVertex(v);
            }
        }

        for (int j = 0; j < MAX_VERTS; j++) {
            if (vertexArray[j] != null) {
                vertexArray[j].setVisited(false);
            }
        }
    }

 

有向图的拓扑排序

有向图：边有方向，只能沿着边的方向移动。以下是邻接矩阵：

	A	B	C
A	0	1	0
B	0	0	1
C	0	0	0

             如图：

1 表示一条边，行标表示从哪里开始，列标表示到哪里结束。例如图中 A -> B，只有行A到列B的值为1，行B到列A的值为0。

邻接表：

顶点	包含邻接顶点的链表
A	B
B	C
C

     不同于无向图是：B链表中不存在A，C链表中不存在B。

拓扑排序

后继：若有一条边从A指向B，那么B就是A的后继。

环：它是一条路径，路径的起点和终点在同一个顶点。例如：A -> B -> C -> D -> A，但是 A -> B -> C，A -> D 不是环。

步骤

1. 找到没有后继的顶点
2. 从图中删除这个顶点，在列表的前面插入顶点的标记。
3. 重复步骤1、2，直到所有顶点都从图中删除。这时列表显示的顶点顺序就是拓扑排序。

public class Vertex {

    private char label;

    public Vertex(char label) {
        this.label = label;
    }

    public char getLabel() {
        return label;
    }

}

public class Graph {

    private final int MAX_VERTS;

    private Vertex[] vertexList;

    private int[][] adjMat;

    private int nVerts;

    private char[] sortedList;

    public Graph(int verts) {
        this.MAX_VERTS = verts;
        vertexList = new Vertex[MAX_VERTS];
        sortedList = new char[MAX_VERTS];
        adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS];
        nVerts = 0;
    }

    public void addVertex(char label) {
        vertexList[nVerts++] = new Vertex(label);
    }

    public void addEdge(int start, int end) {
        adjMat[start][end] = 1;
    }

    public void topo() {
        int orig_Verts = nVerts;
        /*
         * 1、调用noSuccessors()找到任意一个没有后继的顶点。
         * 2、将该顶点放入sortedList，并把它从图中删除。
         * 3、如果没有这样的顶点，必然出现环。
         * */
        while (nVerts > 0) {
            int currentVertex = noSuccessors();
            if (currentVertex == -1) {
                System.out.println("error : cycle .");
                return;
            }
            sortedList[nVerts - 1] = vertexList[currentVertex].getLabel();
            deleteVertex(currentVertex);
        }
        System.out.print("sort order : ");
        for (int i = 0; i < orig_Verts; i++) {
            System.out.print(sortedList[i]);
        }
        System.out.print(" . ");
    }

    public int noSuccessors() {
        boolean isEdge;
        for (int row = 0; row < nVerts; row++) {
            isEdge = false;
            for (int col = 0; col < nVerts; col++) {
                if (adjMat[row][col] > 0) {
                    isEdge = true;
                    break;
                }
            }
            if (!isEdge) {
                return row;
            }
        }
        return -1;
    }

    public void deleteVertex(int delVert) {
        if (delVert != nVerts - 1) {
            for (int j = delVert; j < nVerts - 1; j++)
                vertexList[j] = vertexList[j + 1];
            for (int row = delVert; row < nVerts - 1; row++)
                moveRowUp(row, nVerts);
            for (int col = delVert; col < nVerts - 1; col++)
                moveColLeft(col, nVerts);
        }
        nVerts--;
    }

    private void moveRowUp(int row, int length) {
        for (int col = 0; col < length; col++) {
            adjMat[row][col] = adjMat[row + 1][col];
        }
    }

    private void moveColLeft(int col, int length) {
        for (int row = 0; row < length; row++) {
            adjMat[row][col] = adjMat[row][col + 1];
        }
    }
    
}

    图z

有向图的连通性