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  • 学数答题160903-三角函数

    题160903设$alpha ,eta $均为锐角,满足

    ${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin (alpha +eta )$,

    求$alpha +eta $的值.


    试题来源:2016年北大全国优秀中学生暑期学堂

    参考答案:$dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$


    解:显然当$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$时,等式成立;

    由已知条件知${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin alpha cos eta +cos alpha sin eta $,

    整理得$sin alpha (sin alpha -cos eta )=sin eta (cos alpha -sin eta )$.

    若$alpha +eta e dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$,则有$sin alpha -cos eta $与$cos alpha -sin eta $同号.

    若它们同为正,则有$sin alpha >cos eta =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta  ight)$,$cos alpha =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha  ight)>sin eta $,

    从而有$alpha >dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta $,$dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha >eta $,无解;

    若它们同为负,用类似的方式也可以推导出矛盾.

    综上,$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$.


    法2:由${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin (alpha +eta )$,$sin left( alpha +eta  ight)le 1$,得${{sin }^{2}}alpha le 1-{{sin }^{2}}eta ={{cos }^{2}}eta $,

    因为$alpha ,eta $均为锐角,所以$sin alpha le cos eta $,同理$sin eta le cos alpha $,

    故$sin left( alpha +eta  ight)=sin alpha cos eta +cos alpha sin eta $$ge {{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta $,

    当且仅当$sin alpha =cos eta =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta  ight)$,$sin eta =cos alpha =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha  ight)$时取等,

    因为$alpha ,eta ,dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha ,dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta $均为锐角,所以$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$.


    学生解答

    BAM提供:正确

     

    LST提供:正确

     

    WQY提供:正确

     

    FXY提供:正确

     

    MJX提供:正确,解法巧妙

     

    LZX提供:倒数2,3行有误

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/xueshutuan/p/5838648.html
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