次数小于等于n-1的一元多项式空间

　　高等代数研究的主要对象是线性空间,数域$mathbb{F}$上所有次数小于等于$n-1$的一元多项式构成一个线性空间，记为$V=mathbb{F}[x]_{n}$,那么显然$dim V=n$，并且容易知道已有一组基为$$1,x,x^{2},dots,x^{n-1}$$

事实上,按照线性空间基的定义容易验证还有基$$1,(x-a),(x-a)^{2},dots,(x-a)^{n-1}$$与Lagerange插值基$$ g_{i}(x)=frac{1}{x-x_{i}}prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}),i=1,2,dots,n.$$

　　下面分享2015年四川大学高等代数考研试题中的一题，利用Lagerange插值基函数将变得十分巧妙.

　　设$V$是数域 $mathbb{F}$上的$n$维线性空间，$T$是$V$上的线性变换，$lambda_{1},lambda_{2},...,lambda_{n}in mathbb{F}$互不相同，且都不是$T$的特征值；$I$是$V$上的恒等变换.

1. 证明：对每个$1 le i le n,T-lambda_{i}I$都是$V$上的可逆线性变换.
2. 证明：存在$alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{n}in mathbb{F}$使得$$ sum_{k=1}^{n}alpha_{k}(T-lambda_{k}I)^{-1}=I. $$

证明:1.对任意$i=1,2,...,n$,$T-lambda_{i}$不可逆$iff left|T-lambda_{i} ight|=0iff lambda_{i}$为$T$的特征值,而由题设条件可知,$lambda_{i}$不是$T$的特征值,于是$T-lambda_{i}$可逆.

2.令$$F(x)=prod_{k=1}^{n}(x-lambda_{k})$$因$T-lambda_{i}$可逆,故$F(T)=prod_{k=1}^{n}(T-lambda_{k}I)$可逆,并且在$mathbb{F}[x]_{n}$中,$$g_{i}(x)=frac{1}{x-x_{i}}prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}),i=1,2,dots,n$$是$mathbb{F}[x]_{n}$的一组基，故$F(x)$可由其线性表出,即:存在$alpha_{k}inmathbb{F}$使得

$$ F(x)=sum_{k=1}^{n}alpha_{k}g_{k}(x)$$

上式中的不定元$x$以变换$T$带入仍然成立,即:

$$ F(T)=sum_{k=1}^{n}alpha_{k}g_{k}(T)$$

 两边同时作用$F(T)^{-1}$,有$$ sum_{k=1}^{n}alpha_{k}(T-lambda_{k}I)^{-1}=I. $$

证毕.