一、极限 (每小题7分,共28分)
1.$displaystyle limlimits_{n o infty } frac{1}{n^{2}}sumlimits_{n=1}^{infty}ln binom{n}{k}$
2.$displaystyle limlimits_{n o infty} sin ^{2}left(pi sqrt{n^{2}+n}
ight)$
3.$displaystyle limlimits_{x o 0^{+}}frac{displaystyle int_{0}^{x^{2}}sin ^{frac{3}{2}}tdt}{displaystyle int_{0}^{x}t(t-sin t)dt}$
4.$displaystyle limlimits_{x o 0}frac{e^{x}-1-x}{sqrt{1-x}-cos sqrt{x}}$
二、(每小题10分,共40分)计算下列积分 .
1.$displaystyle iintlimits_{D}left| frac{x+y}{2}-x^{2}-y^{2}
ight|dxdy$,其中$displaystyle D={(x,y)in R^{2}mid x^{2}+y^{2}le 1}$.
2.$displaystyle int_{l}yzds$,其中曲线$l$是球面$displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$与平面$z+y+z=1$的交线.
3.设$f(x)$在$(-infty,+infty)$内有连续导函数,求积分$displaystyle intlimits_{L}frac{1+y^{2}f(xy)}{y}dx+frac{x}{y^{2}}[y^{2}f(xy)-1]dy$,其中$L$是从点$ Aleft(3,frac{2}{3}
ight)$到$ Bleft(1,2
ight)$的直线段.
4.$displaystyle iintlimits_{S}frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}$,其中$S$是抛物面$displaystyle 1-frac{z}{7}=frac{(x-2)^{2}}{25}+frac{(y-1)^{2}}{16}(zge0)$的上侧.
三、(本题10分) 设$f(x,y)$在有界闭区域$D$内有连续二阶偏导数,且$displaystyle f''_{xx}+f''_{yy}=0,f''_{xy} ot =0$.
证明:$z=f(x,y)$的最大值最小值只能在区域$D$的边界上取得.
四、(本题12分) 证明:在变换$displaystyle u=frac{x}{y},v=x,w=xz-y$之下,方程
$$yfrac{partial ^{2} z}{partial y^{2}}+2frac{partial z}{partial y}=frac{2}{x}$$可变成$$frac{partial ^{2} w}{partial u^{2}}=0$$
五、(本题12分) (本题12分) 证明:$displaystyle sumlimits_{n=1}^{infty}(1-x)frac{x^{n}}{1-x^{2n}}sin nx$在$displaystyle left(frac{1}{2},1 ight)$内一致收敛.
六、(本题12分) 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,且$f(a)=f(b)$,证明:$displaystyle forall n in mathbb{Z}^{+},exists xiin(a,b)$,使得$$displaystyle fleft(xi +frac{b-a}{n} ight)=f(xi)$$.
七、(本题12分) 设$f(x)$在$[0,1]$上连续,在$(0,1)$可导,且$f'(x)>0,f(0)=0$，证明:
$displaystyle exists xi ,eta in(0,1)$使得$xi +eta =1$且$displaystyle frac{f'(xi)}{f(xi)}=frac{f'(eta)}{f(eta)}$.
八、(本题12分) 设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续可导,证明:$$int_{a}^{b}left|f(x) ight|dxlemax left{ (b-a)int_{a}^{b}left|f(x) ight|dx, left|int_{a}^{b}f(x)dx ight| ight}.$$
九、(本题12分) 对任意实数$A>0$,函数$f(x)$在$[0,A]$上可积,且$displaystyle limlimits_{x o +infty}f(x)=B$($B$有限).
证明:$displaystyle limlimits_{t o 0^{+}}tint_{0}^{+infty}e^{-tx}f(x)dx=B$.