范德蒙恒等式，听起来牛逼哄哄，但是并没有那么晦涩深奥
其表述如下
$sum_{i=0}^{k}dbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i}=dbinom{n+m}{k}$
组合方法证明：
考虑这样一个问题，甲班有$n$个同学，乙班有$m$个同学，从两班选出$k$个人一共有$dbinom{n+m}{k}$种方式
当然我们也可以枚举甲班选了几个人，即$sum_{i=0}^{k}dbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i}$
证毕
生成函数法证明:
$(1+x)^n(1+x)^m=(1+x)^{n+m}$
对于等式左边$(1+x)^n(1+x)^m=(sum_{i=1}^{n}dbinom{n}{i}x^i)(dbinom{m}{i}x^i)=sum_{k=0}^{n+m}(sum_{i=0}^{k}dbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i})x^k$
对于等式右边$(1+m)^{n+m}=sum_{i=0}^{n+m}dbinom{n+m}{i}x^i$
上下比较一下，得证
范德蒙恒等式的衍生问题
(1)$sum_{i=1}^{n}dbinom{n}{i}dbinom{n}{i-1}=dbinom{2n}{n-1}$
有范德蒙恒等式可得$sum_{i=0}^{k}dbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i}=dbinom{n+m}{k}$
令$k=n-1,m=n$
$sum_{i=0}^{n-1}dbinom{n}{i}dbinom{n}{n-1-i}=sum_{i=0}^{n-1}dbinom{n}{i}dbinom{n}{i+1}=sum_{i=1}^{n}dbinom{n}{i-1}dbinom{n}{i}$
$=dbinom{2n}{n-1}$
证毕
(2)$sum_{i=0}^{n}dbinom{n}{i}^2=dbinom{2n}{n}$
左式$=sum_{i=0}^{n}dbinom{n}{i}dbinom{n}{n-i}=dbinom{2n}{n}$