范德蒙恒等式学习笔记

范德蒙恒等式，听起来牛逼哄哄，但是并没有那么晦涩深奥

其表述如下

$sum_{i=0}^{k}dbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i}=dbinom{n+m}{k}$

组合方法证明：

考虑这样一个问题，甲班有$n$个同学，乙班有$m$个同学，从两班选出$k$个人一共有$dbinom{n+m}{k}$种方式

当然我们也可以枚举甲班选了几个人，即$sum_{i=0}^{k}dbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i}$

证毕

生成函数法证明:

$(1+x)^n(1+x)^m=(1+x)^{n+m}$

对于等式左边$(1+x)^n(1+x)^m=(sum_{i=1}^{n}dbinom{n}{i}x^i)(dbinom{m}{i}x^i)=sum_{k=0}^{n+m}(sum_{i=0}^{k}dbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i})x^k$

对于等式右边$(1+m)^{n+m}=sum_{i=0}^{n+m}dbinom{n+m}{i}x^i$

上下比较一下，得证

范德蒙恒等式的衍生问题

(1)$sum_{i=1}^{n}dbinom{n}{i}dbinom{n}{i-1}=dbinom{2n}{n-1}$

有范德蒙恒等式可得$sum_{i=0}^{k}dbinom{n}{i}dbinom{m}{k-i}=dbinom{n+m}{k}$

令$k=n-1,m=n$

$sum_{i=0}^{n-1}dbinom{n}{i}dbinom{n}{n-1-i}=sum_{i=0}^{n-1}dbinom{n}{i}dbinom{n}{i+1}=sum_{i=1}^{n}dbinom{n}{i-1}dbinom{n}{i}$

$=dbinom{2n}{n-1}$

证毕

(2)$sum_{i=0}^{n}dbinom{n}{i}^2=dbinom{2n}{n}$

左式$=sum_{i=0}^{n}dbinom{n}{i}dbinom{n}{n-i}=dbinom{2n}{n}$