[NOI2002] Robot 解题报告(数论+DP)

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1408

Description

3030年，Macsy正在火星部署一批机器人。第1秒，他把机器人1号运到了火星，机器人1号可以制造其他的机器人。第2秒，机器人1号造出了第一个机器人——机器人2号。第3秒，机器人1号造出了另一个机器人——机器人3号。之后每一秒，机器人1号都可以造出一个新的机器人。第m秒造出的机器人编号为m。我们可以称它为机器人m号，或者m号机器人。机器人造出来后，马上开始工作。m号机器人，每m秒会休息一次。比如3号机器人，会在第6，9，12，……秒休息，而其它时间都在工作。机器人休息时，它的记忆将会被移植到当时出生的机器人的脑中。比如6号机器人出生时，2，3号机器人正在休息，因此，6号机器人会收到第2，3号机器人的记忆副本。我们称第2，3号机器人是6号机器人的老师。如果两个机器人没有师徒关系，且没有共同的老师，则称这两个机器人的知识是互相独立的。注意：1号机器人与其他所有机器人的知识独立（因为只有1号才会造机器人），它也不是任何机器人的老师。 一个机器人的独立数，是指所有编号比它小且与它知识互相独立的机器人的个数。比如1号机器人的独立数为0，2号机器人的独立数为1（1号机器人与它知识互相独立），6号机器人的独立数为2（1，5号机器人与它知识互相独立，2，3号机器人都是它的老师，而4号机器人与它有共同的老师——2号机器人）。新造出来的机器人有3种不同的职业。对于编号为m的机器人，如果能把m分解成偶数个不同奇素数的积，则它是政客，例如编号15；否则，如果m本身就是奇素数或者能把m分解成奇数个不同奇素数的积，则它是军人，例如编号 3, 编号165。其它编号的机器人都是学者，例如编号2, 编号6, 编号9。第m秒诞生的机器人m号，想知道它和它的老师中，所有政客的独立数之和，所有军人的独立数之和，以及所有学者的独立数之和。可机器人m号忙于工作没时间计算，你能够帮助它吗？为了方便你的计算，Macsy已经帮你做了m的素因子分解。为了输出方便，只要求输出总和除以10000的余数。

Input

输入文件的第一行是一个正整数k(1<=k<=1000)，k是m的不同的素因子个数。以下k行，每行两个整数，pi, ei,表示m的第i个素因子和它的指数(i = 1, 2, …, k)。p1, p2, …, pk是不同的素数。所有素因子按照从小到大排列，即p1<p2<…<pk。输入文件中，2<=pi<10,000, 1<=ei<=1,000,000。

Output

输出文件包括三行。第一行是机器人m号和它的老师中，所有政客的独立数之和除以10000的余数。第二行是机器人m号和它的老师中，所有军人的独立数之和除以10000的余数。第三行是机器人m号和它的老师中，所有学者的独立数之和除以10000的余数。

Sample Input

3 2 1 3 2 5 1

Sample Output

8 6 75

这么长的题面。。。是在告诉我们OI选手必须学好语文吗？

其实题目中的机器人n独立数就是phi(n)，新定义phi(1)=0。机器人n的老师就是n的约数，与某个数有共同老师说明二者不互质。

直接在已经质因数分解的数上DP就好

ans1表示到目前质因子政客的独立数之和(即拥有偶数个质因子的数的欧拉函数之和)

ans2表示到目前质因子军人的独立数之和(即拥有奇数个质因子的数的欧拉函数之和)

注意不管是军人还是政客的质因子都是互异的

于是我们得到下面的状态转移方程：

int z=ans1;
ans1=(ans1+ans2*(p-1))%mod;//政客 
ans2=(ans2+(z+1)*(p-1))%mod;//军人

因为欧拉函数是积性函数，所以每多加一个质因子p，独立数之和就会乘上p-1；计算ans2时之所以z要加1是因为新加的一个质因数p单独存在也会对答案做出贡献

那么学者呢？根据题意，不是军人，不是政客，当然也不是1号机器人的就是学者。于是学者的独立数之和等于数m的各个约数的独立数之和-1(1号机器人不算)-政客的独立数之和-军人的独立数之和

根据欧拉函数的定理之一，一个正整数的各个约数的欧拉函数值之和等于本身的值

还需要注意2遇到要跳过

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1000+15;
const int mod=10000;
int k,m,ans1,ans2,p,e;
inline int read()
{
    char ch=getchar();
    int s=0,f=1;
    while (!(ch>='0'&&ch<='9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*f;
}
int pow(int x,int e)
{
    int r=1;
    while (e)
    {
        if (e&1) r=r*x%mod;
        x=x*x%mod;e>>=1;
    }
    return r;
}
int main()
{
    k=read();
    m=1;
    for (int i=1;i<=k;i++)
    {    
        p=read();e=read();
        m=m*pow(p,e)%mod;
        if (p==2) continue;
        int z=ans1;
        ans1=(ans1+ans2*(p-1))%mod;//政客 
        ans2=(ans2+(z+1)*(p-1))%mod;//军人 
    } 
    printf("%d
%d
%d
",ans1,ans2,(m-1-ans1-ans2+3*mod)%mod); 
    return 0;
}