7-3 两个有序序列的中位数 (20 分) log n的解法

题目描述

已知有两个等长的非降序序列S1, S2, 设计函数求S1与S2并集的中位数。有序序列A​0​​,A​1​​,⋯,A​N−1​​的中位数指A​(N−1)/2​​的值,即第⌊(N+1)/2⌋个数（A​0​​为第1个数）。

输入格式:

输入分三行。第一行给出序列的公共长度N（0<N≤100000），随后每行输入一个序列的信息，即N个非降序排列的整数。数字用空格间隔。

输出格式:

在一行中输出两个输入序列的并集序列的中位数。

输入样例1:

5
1 3 5 7 9
2 3 4 5 6

输出样例1:

4

题解

因为要求log n的解法，而且题目是非降序的序列，就自然而然想到最近上课教的二分搜索了。

这里有三种情况

1.a[mid]>b[mid]    那么我们取a的左边（包括a）和b的右边(包括b)比较

2.a[mid]<b[mid]   那么我们取a（包括a）的右边和b的左边(包括b)比较

3.a[mid]=b[mid]  此时a[mid]、b[mid]即为所求

但是有一个特殊情况就是当数组长度为偶数的时候

我举个栗子

比如 这个样例

a : 1   2   3   4   5    6

b : 7   8   9  10 11 12

round 1:a[mid]=3, b[mid]=9;

9>3，此时a的右边包括3是四个数，而b的左边包括9是三个数，两个序列长度不相等。

所以我们在遇到偶数长度的数组时，要在round 1的时候，应该取不等长的，a取第三个数，b取第四个数。

我们第一次取得两个数组的长度是不等长的，但是我们这样处理了以后，（后面的操作和对奇数长度数组一样），

我们以后每次操作的长度就会相等了。（两个数组肯定一个取左边，一个取右边）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[100009];
int b[100009];
int binarysearch1(int l1, int r1, int l2, int r2)
{
    int mid1=(l1+r1)/2;
    int mid2=(l2+r2+1)/2;//+1处理，可以在遇到偶数序列时处理
    
    if (l1== r1&&l2 != r2) {
    　　if (a[l1] > b[r2])return b[r2];
    　　else return a[l1];
    }
    if (l2 == r2&&l1 != r1) {
    　　if (b[l2] > a[r1])return a[r1];
       else return b[l2];
    }    
    if(l1==r1&&l2==r2) {
        if(a[l1]>b[l2]) return b[l2];
        else return a[l1];
    }

    else    
    { 
       if (l1 == r1 - 1 && l2 == r2 - 1) //当a、b数组都只剩两个数字时
       {
       　　 mid1 = (l1 + r1) / 2;
        　　mid2 = (l2 + r2) / 2;
       }
    　　if (a[mid1]==b[mid2]) return a[mid1];
    　　else if (a[mid1] > b[mid2]) binarysearch1(l1, mid1 ,mid2, r2);
    　　else binarysearch1(mid1, r1, l2, mid2);
    }
    
} 
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=0; i<n; i++)  cin >> a[i];
    for(int i=0; i<n; i++)  cin >> b[i];
    cout << binarysearch1(0,n-1,0,n-1) << endl;

}

 算法时间及空间复杂度分析：因为每次都是二分，主函数中定义了n,进行了一次输入，以及对数组的赋值，则t1(n) = O(n)+O(1),在 binarysearch1函数中，每次都进行三次判断，t2(n)=O(1)+O(1)+O(1)，由于进行二分操作，故该函数总共调用log n次. 总共的时间复杂度是O（n)=t1(n)+log n*t2(n),因此总时间复杂度为log n;

而空间复杂为O（1），因为没有再开拓新空间。

心得：当判断的条件很多时，也要耐心，仔细，写好每一个if else语句，模拟出所有情况来。