Q：求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。
T：
1.引用：https://www.cnblogs.com/nailperry/p/4752987.html
求X的数量：
这里的 (X∈[1,9])，因为 X=0 不符合下列规律，需要单独计算。
首先要知道以下的规律：
- 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
- 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
- 从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。
依此类推，从 1 至 (10^i)，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 (10^{i-1}) 次。
这个规律很容易验证，这里不再多做说明。
接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。
现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字(（259）*10^{1-1}=259)）。
然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字(（25+1）*10^{2-1}=260)）。
接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字(（2）*10^{3-1}+（93+1）=294)）。
最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字(（0）*10^{4-1}=0)）。
到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。
总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：
- 取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 (10^{i−1})，得到基础值 a。
- 取第 i 位数字，计算修正值：
- 如果大于 X，则结果为 (a+10^{i−1})。
- 如果小于 X，则结果为 a。
- 如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。
相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 (O(log_{10}n))。
代码：
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int x = 1;
if (n < x || x < 0 || x > 9)
return 0;
int high, low, cur, temp = 1;
high = n;
int i = 1;
int count = 0;
while (high > 0) {
high = n / (int) pow(10, i);
temp = n % (int) pow(10, i);
cur = temp / (int) pow(10, i - 1);
low = temp % (int) pow(10, i - 1);
if (cur == x) {
count += high * (int) pow(10, i - 1);
count += low + 1;
} else if (cur > x) {
count += (high + 1) * (int) pow(10, i - 1);
} else
count += high * (int) pow(10, i - 1);
i++;
}
return count;
}
2.思路还是和上面一样，简化一下。由于该题x=1，之所以补8，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)（感谢@咩咩jiang）
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int count = 0;
int i = 1;
for (i = 1; i <= n; i *= 10) {
//i表示当前分析的是哪一个数位
int a = n / i, b = n % i;
count = count + (a + 8) / 10 * i + (a % 10 == 1) * (b + 1);
}
return count;
}