Q:给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树
A:
卡特兰数
考研时数据结构有考过这种题目,同类型的还有入栈顺序为1,2,3……,n,出栈有多少种方法。
公式:
[h(n)=frac{1}{n+1}C^{n}_{2n}
]
代码:
public int numTrees(int n) {
return (int) (combination(n, 2 * n) / (n + 1));
}
public long combination(int m, long n) {
if (m == n)
return 1;
if (m == 0)
return 1;
return combination(m, n - 1) + combination(m - 1, n - 1);
}
直接这么写,超时了。
卡特兰数还有另一种计算方法:
[C_0 = 1, C_{n+1} = frac{2(2n+1)}{n+2}C_n
]
代码:
public int numTrees(int n) {
long[] dp = new long[n + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i + 1] = dp[i] * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
}
return (int) dp[n];
}
这里,用一个数写,或用递归,都可以。