转自http://blog.csdn.net/abraham_li/article/details/50058123
矩阵等价
- 定义：对同型矩阵A、B，存在可逆阵P和Q，使得B=PAQ
- 充要条件：A和B的秩相等
矩阵合同
- 定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P使得B=PTAP
矩阵相似
- 比等价严苛
- 定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P，使得B=P^(-1)AP
三者关系：
- 等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。
- 相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵
- PQ=E 的等价矩阵是相似矩阵
- 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵
- 正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵
- 合同矩阵未必是相似矩阵
- 相似矩阵未必合同
- 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵
- 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同