考虑矩阵A的第p个特征值$lambda_p$及属于它的特征向量$v_p$，
egin{align} A v_p = lambda_p v_p end{align}
等式两边同时取微分
egin{align}
(dA) v_p + A d v_p = (dlambda_p) v_p + lambda_p d v_p，
end{align}
等式两边同时乘以$v_p^T$得
egin{align}label{eq:vpt}
v_p^T (dA) v_p + v_p^T A d v_p = v_p^T (dlambda_p) v_p + v_p^T lambda_p d v_p = (dlambda_p) (v_p^T v_p) + lambda_p (v_p^T d v_p ),
end{align}
根据A的实对称属性，可知第一个等号左边$v_p^T A = (A^T v_p)^T = (A v_p)^T = lambda_p v_p^T$, 带入(
ef{eq:vpt})式得
egin{align}
v_p^T (dA) v_p + lambda_p (v_p^T d v_p ) = (dlambda_p) (v_p^T v_p) + lambda_p (v_p^T d v_p ),
end{align}
根据特征向量$v_p$的长度恒为1，可以计算上式中 $v_p^T d v_p$满足如下关系：
egin{align}
0 = d 1 = d |v_p|_2^2 = 2 (v_p^T d v_p),
end{align}
因此有
egin{align}
v_p^T (dA) v_p = dlambda_p cdot 1 .
end{align}
--- 我是仙， 我不是神