快速幂加同余模

2^x mod n = 1

 HDU - 1395 

Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1. 

InputOne positive integer on each line, the value of n. 
OutputIf the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1. 

Print 2^? mod n = 1 otherwise. 

You should replace x and n with specific numbers. 
Sample Input

2
5

Sample Output

2^? mod 2 = 1
2^4 mod 5 = 1

#include <cstdio>
int Powermod(int a,int b,int c)
{
    int ans=1;
    a=a%c;
    while (b) {
        if (b&1)
        ans=ans*a%c;
        a=a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d",&n)) {
        if (n%2==0||n==1) {
            printf("2^? mod %d = 1
",n);
            continue;    
        }
        for (int i=1;;i++) {
            if (Powermod(2,i,n)==1) {
                printf("2^%d mod %d = 1
",i,n);
                break;    
            }
        }    
    }
    return 0;
}

这道题虽然题目字少，但是对于数论的初学者来说还是有难度的。因为这道题目涉及到了快速幂加上同余模的算法，代码中的核心部分Powermod是一个比较简洁的写法，还有一些比较清晰但是代码量多的写法。

这里附上代码以及推荐阅读的博客：

    private static int cifang3(int a, int b) {
        int s = 1;
        while (b > 0) {
            if (b % 2 == 1) {
                s = s % 1000;
                a = a % 1000;
                s = s * a;
            }
            a = a % 1000;
            a = a * a;
            b = b >> 1;
        }
        return s% 1000;
    }

https://blog.csdn.net/java_c_android/article/details/55802041

这个博客写得很清楚了，对于同余定理和快速幂不熟悉的同学们可以阅读一下。

对于同余定理的理解，我只说最后一行是怎么得来的，你可以看到第一行的末尾，已经存在两数乘积然后模m的形式了，这时候就直接将a%m看成一个整体，套用同余定理的公式就可以了。

这个东西最好记住，不然题目没法理解，真的。

对于快速幂来说，你可以把他们想象成一个一个待处理的瓜子一样，需要挨个地嗑。首先把他转换成二进制，这时候你就可以看到，哪些位是需要计算，哪些位是不需要计算的了。

对于乘的倍数来说，这是满算，所以当一位上有一的时候，你得照着它本来的值进行计算，而不是按照进制幂指数减一再乘。这基本上就是同余模和快速幂了。

至于同余模加快速幂你最好有个抽象的理解，也可以一步一步的演算，虽然这样也可能理解不了本质，所以抽象一点，我算的就是同余定理，我要的也是他的同余数，只要按照正确的式子j进行

计算就能得到正确的答案，前提是代码得出的式子是建立的同余定理的基础上的，具体详见第一块代码的Powermod部分。