有向图的强连通分量——tarjan

一、知识储备

强连通： 在一个有向图G里，设两个点 a 、b，发现由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。  

强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就把这个子图叫做强连通分量。

参考博客：强连通算法——Tarjan个人理解+讲解

参考博客：全网最详细tarjan算法讲解

二、算法描述

tarjan算法，之所以用DFS，是因为它将每一个强连通分量作为搜索树（即有向图）上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。
为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。

每个节点都有两个参数（用数组表示）：

① DFN［］ 记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的；
② LOW［］记录该点所在的（强连通分量扮演的）搜索子树的根节点的DFN值。

过程：

1. 数组的初始化：当首次搜索到点p时，DFN与LOW数组的值都为到该点的时间；
2. 堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶；
3. 当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为DFN[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个；
4. 当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为DFN[p]时）p’在栈中，p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个；
5. 当搜索到一个点的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量；
6. 继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

帮助领悟：

• 我们用LOW值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的DFN值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方；
• 强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量；
• 如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量；
• 当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点；
• Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。

代码：

void tarjan(int u)          //此代码仅供参考
{
    vis[u]=1;
    low[u]=dfn[u]=cnt++;
    for(int i=0;i<mp[u].size();i++)
    {
        int v=mp[u][i];
        if(vis[v]==0)Tarjan(v);
        if(vis[v]==1)low[u]=min(low[u],low[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        sig++;
    }
}    

 三、代码实现

#include<stdio.h>//此代码仅供参考，用于求一个图存在多少个强连通分量
#include<string.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000000
vector<int >mp[maxn];
int ans[maxn];
int vis[maxn];
int dfn[maxn];
int low[maxn];
int n,m,tt,cnt,sig;
void init()
{
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)mp[i].clear();
}
void Tarjan(int u)
{
    vis[u]=1;
    low[u]=dfn[u]=cnt++;
    for(int i=0;i<mp[u].size();i++)
    {
        int v=mp[u][i];
        if(vis[v]==0)Tarjan(v);
        if(vis[v]==1)low[u]=min(low[u],low[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        sig++;
    }
}
void Slove()
{
    tt=-1;cnt=1;sig=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            Tarjan(i);
        }
    }
    printf("%d
",sig);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n==0)break;
        scanf("%d",&m);
        init();
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            mp[x].push_back(y);
        }
        Slove();
    }
}
//测试数据
/*
7 9
1 2
2 3
3 1
2 4
4 7
7 4
4 5
5 6
6 4
8 10
1 2
2 3
3 1
2 4
4 7
7 4
4 5
5 6
6 4
7 8
*/

　　

四、沙场练兵

题目一、迷宫城堡

题目二、Popular Cows