高维前缀和

高维前缀和

Tags：动态规划

作业部落

评论地址

---

一、概述

高维前缀和是个好东西，很多人把它归类为状态压缩(DP)，其实听说它是由(FWT)衍生出来的黑科技？

求x二进制下的超集或子集的所有状态之和怎么办？
（如(0101)超集为(0101,1101,0111,1111),子集为(0101,0001,0100,0000)）
高维前缀和可以把这个过程从(2^n×2^n)优化到(n×2^n)((2^n)为最大值域范围)

二、原理

通过高维前缀和的枚举顺序，可以保证枚举到第(i)位的(1)，所有第(i+1)到末位的数的超集（子集）情况都被涵盖在内，具体原理理解请照代码手玩(0-7)（博主就是靠这个理解的，但是太懒不想做表了，毕竟还有辣么多东西还没学还没总结）

枚举超集

for(int j=0;j<n;j++)
    for(int i=0;i<1<<n;i++)
        if(!(i&(1<<j))) f[i]+=f[i|(1<<j)];

枚举子集

for(int j=0;j<n;j++)
    for(int i=0;i<1<<n;i++)
        if(i&(1<<j)) f[i]+=f[i^(1<<j)];

这里可以自定义运算，可以取最值等等
(Update7.21):其实求子集就是(FWT\_or(f,1)),求超集就是(FWT\_and(f,1))，不过高维前缀和可以资瓷不只是乘法的更多操作

三、做题经验

1.巧用容斥

很多情况需要求的是恰好怎样的答案，这个时候可以改为至少怎样的方案，然后用(pm1)容斥或者组合数容斥解决
(eg:)考试2018.7.9T1、[CF449D]Jzzhu and Numbers

2.巧妙转化子集超集

可以考虑(01)翻转后计算贡献
(eg:)[SPOJ2829]Time Limit Exceeded

附录：题单

• [x] [hihcoder1496]寻找最大值
• [x] [SPOJ2829]Time Limit Exceeded
• [x] [CF449D]Jzzhu and Numbers
• [x] [BZOJ5092][Lydsy1711月赛]分割序列
• [x] [CF165E]Compatible Numbers
• [x] 2018.7.9 T1