P4099 [HEOI2013]SAO
贼板子有意思的一个题～～～我（）竟然没看题解
有一张连成树的有向图，球拓扑序数量。
树形dp，设(f[i][j])表示(i)在子树中(i)拓扑序上排名为(j)的方案数。
难就难在转移，现在有两个树(x)和(y)，其中(x)是父亲，(x)的拓扑序小于(y)的，从(f[x][p1],f[y][p2])转移到(newf[x][p3])：(x)在原序列中排名(p1)，新序列中(p3)；(y)在原序列中排名(p2)，新序列中(p4)，那么限制是(p3<p4)
那么(x)子树中，(p1)左边的点也一定在(p3)左边（因为是和同一个点(x)比较）
又有限制(p3<p4)，所以(y)的原序列中排名为([p2,siz_y])都在(p3)右边，([1,p2-1])可以有一些在(p3)右边，有一些在左边
所以(p3)的左边数的数量限制是：(p1-1leq p3-1leq p1-1+p2-1)，也就是(p1leq p3leq p1+p2-1)
(p3)的范围就确定了，转移当然还要乘组合数，先考虑左边的情况，左边有(p3-1)个点，一定有(p1-1)个来自(x)的原序列，所以左边的方案数为(C_{p3-1}^{p1-1})；右边同理，有(siz_x+siz_y-p3)个点，一定有(siz_x-p1)个点来自(x)的原序列，所以右边方案数是(C_{siz_x+siz_y-p3}^{siz_x-p1})。
综上，从(f[x][p1],f[y][p2])转移到(newf[x][p3])，而且新序列中(x)在(y)左边，要满足(p1leq p3leq p1+p2-1)，转移方程是
(newf[x][p3]+=C_{p3-1}^{p1-1}C_{siz_x+siz_y-p3}^{siz_x-p1}f[x][p1]f[y][p2])
还有一种情况就是新序列中(x)在(y)右边的，也是同理推，转移方程一样，唯一的区别是(p3)的取值范围是(p1+p2leq p3leq p1+siz_x)。
然后就解决了，然而是(O(n^3))的，考虑优化
当然把式子写出来啊（还是以新序列中(x)在(y)左边为例）
for p1 in [1,siz_x]
for p2 in [1,siz_y]
for p3 in [p1,p1+p2-1]
转移
观察一下转移方程，好像(p2)只出现了一次，还是连续的，于是调换循环顺序（省去对循环范围的推倒）：
for p1 in [1,siz_x]
for p3 in [p1,p1+siz_y-1]
for p2 in [p3-p1+1,siz_y]
转移
那么把循环转移成了p2最后一个循环，就可以用前缀和优化转移了，然后这题切了。。。
就是新序列中(x)在(y)右边的情况直接看代码。
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
il ll gi(){
ll x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
int fir[1010],dis[2010],nxt[2010],w[2010],id;
il vd link(int a,int b,int c){nxt[++id]=fir[a],fir[a]=id,dis[id]=b,w[id]=c;}
int f[1010][1010],g[1010],siz[1010];
int C[1010][1010];
il vd dfs(int x){
siz[x]=1;f[x][1]=1;
for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){
if(siz[dis[i]])continue;
dfs(dis[i]);
memcpy(g,f[x],sizeof g);
memset(f[x],0,sizeof f[x]);
if(w[i]==1){
for(int p1=1;p1<=siz[x];++p1)
for(int p3=p1;p3<p1+siz[dis[i]];++p3)
f[x][p3]=(f[x][p3]+1ll*C[siz[x]+siz[dis[i]]-p3][siz[x]-p1]*C[p3-1][p1-1]%mod*g[p1]%mod*(f[dis[i]][siz[dis[i]]]-f[dis[i]][p3-p1]+mod))%mod;
}else{
for(int p1=1;p1<=siz[x];++p1)
for(int p3=p1+1;p3<=p1+siz[dis[i]];++p3)
f[x][p3]=(f[x][p3]+1ll*C[siz[x]+siz[dis[i]]-p3][siz[x]-p1]*C[p3-1][p1-1]%mod*g[p1]%mod*f[dis[i]][p3-p1])%mod;
}
siz[x]+=siz[dis[i]];
}
for(int i=1;i<=siz[x];++i)f[x][i]=(f[x][i]+f[x][i-1])%mod;
}
int main(){
#ifdef XZZSB
freopen("in.in","r",stdin);
freopen("out.out","w",stdout);
#endif
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=1000;++i){
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;++j)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
}
int T=gi();
while(T--){
id=0;memset(fir,0,sizeof fir);memset(siz,0,sizeof siz);
int n=gi(),a,b;char ch;
for(int i=1;i<n;++i){
scanf("%d %c %d",&a,&ch,&b);++a,++b;
link(a,b,ch=='<');link(b,a,ch=='>');
}
dfs(1);
printf("%d
",f[1][n]);
}
return 0;
}