BZOJ1061 [NOI2008]志愿者招募

Description

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

14

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

题解

题目中的式子有点多，我们把它们都写出来：

令第$i$天的总志愿者人数为$P_i$，第$j$种志愿者招募人数为$K_j$，那么有

$$P_i = P_{i-1} + sum_{S_j=i}K_j - sum_{T_j=i-1}K_j geq A_i$$

$P_i geq A_i$不太好处理，我们把它写成

$$P_i = A_i + B_i (B_i geq 0)$$

那么我们就有

$$P_i - P_{i-1} = sum_{S_j=i}K_j - sum_{T_j=i-1}K_j = A_i + B_i - A_{i-1} - B_{i-1}$$

即

$$sum_{S_j=i}K_j + B_{i-1} + A_{i-1} =  sum_{T_j=i-1}K_j + B_i + A_i$$

我们发现，每个志愿者所代表的$K_j$只在$S_j$和$T_j+1$两个式子里出现，而且一左一右，每天的松弛变量$B_i$也只在$i$和$i+1$出现，且一左一右。

而且这个式子很像网络流中的流量平衡：

$$out_i = in_i$$

其中$in_i, out_i$分别是某个点的流入和流出。

这里，

$$in_i = sum_{T_j=i-1}K_j + B_i + A_i$$

$$out_i = sum_{S_j=i}K_i + B_{i-1} + A_{i-1}$$

由于$A_i,A_{i-1}$是必须满足的，所以我们将其视为i与S，T之间的边容量，而且一个点既从S流入又向T流出没有意义，我们只需保留容量较大的边，容量为$|A_i-A_{i-1}|$。

那么，现在有$n+3$个点，即源点，汇点，第一天到第$n+1$天的点（若没有第$n+1$天，那么某些$K_j$不会出现两次），边有三种：

1.$K_j$对应的边，由$S_j$连向$T_j+1$，单位代价$C_j$，容量$infty$。

2.$B_i$对应的边，由$i+1$连向$i$，单位代价$0$，容量$infty$。

3.$A_i-A_{i-1}$对应的边，由$S$连向$i$或由$i$连向$T$，单位代价$0$，容量$|A_i-A_{i-1}|$。

最后求一遍最小费用最大流，则每条种类为1的边流量即为此种志愿者招募个数，种类为2的边流量即为该天比要求多多少，种类为3的边均满流（否则无解）。

输出费用即可。

附代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
using std::queue;
typedef long long LL;
const LL INF = 10000000000000000;
const int N = 1050;
const int M = 100050;
struct MCMF{
  int to[M];
  LL cost[M], ret[M];
  int pre[N], nxt[M], cnt;
  LL dis[N];
  int las[N];
  bool inQ[N];
  queue<int> Q;
  MCMF() {
    std::fill(pre, pre + N, -1);
    cnt = 0;
  }
  inline void addEdge(int u, int v, LL w, LL c) {
    to[cnt] = v, cost[cnt] = w, ret[cnt] = c;
    nxt[cnt] = pre[u], pre[u] = cnt++;
    to[cnt] = u, cost[cnt] = -w, ret[cnt] = 0;
    nxt[cnt] = pre[v], pre[v] = cnt++;
  }
  bool SPFA(int s, int t) {
    std::fill(dis, dis + N, INF);
    std::fill(inQ, inQ + N, 0);
    dis[s] = 0;
    inQ[s] = true;
    while (!Q.empty()) Q.pop();
    Q.push(s);
    while (!Q.empty()) {
      int x = Q.front(); Q.pop();
      inQ[x] = false;
      for (int i = pre[x]; ~i; i = nxt[i]) if (ret[i]) {
        int v = to[i];
        if (dis[v] > dis[x] + cost[i]) {
          dis[v] = dis[x] + cost[i];
          las[v] = i;
          if (!inQ[v]) {
            inQ[v] = true;
            Q.push(v);
          }
        }
      }
    }
    return dis[t] < INF;
  }
  LL solve(int s, int t) {
    LL ans = 0;
    while (SPFA(s, t)) {
      LL p = INF;
      for (int i = t; i != s; i = to[las[i] ^ 1])
        p = std::min(p, ret[las[i]]);
      ans += p * dis[t];
      for (int i = t; i != s; i = to[las[i] ^ 1]) {
        ret[las[i]] -= p;
        ret[las[i] ^ 1] += p;
      }
    }
    return ans;
  }
};
MCMF solver;
int A[N];
int main() {
  int n, m, a, b, c;
  scanf("%d%d", &n, &m);
  int S = 0, T = n + 2;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &A[i]);
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
    solver.addEdge(a, b + 1, c, INF);
  }
  for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
    int t = A[i] - A[i - 1];
    if (t >= 0) solver.addEdge(S, i, 0, t);
    else solver.addEdge(i, T, 0, -t);
    if (i > 1) solver.addEdge(i, i - 1, 0, INF);
  }
  printf("%lld
", solver.solve(S, T));
  return 0;
}