zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 概率DP——BZOJ4008 [HNOI2015]亚瑟王

    [HNOI2015]亚瑟王

    Description

      小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。 本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~  n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。 

      一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌: 1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则 
      1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 
        否则(是最后一张),结束这一轮游戏。 
      2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张 
        2.1将其以 pi的概率发动技能。 
        2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。 
        2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;
          否则,考虑下一张卡牌。 
      请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。 

    Input

      输入文件的第一行包含一个整数 T,代表测试数据组数。 

      接下来一共 T 组数据。 
      每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r,分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。 
      接下来 n行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。第i 行的两个数为 pi和 di,分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动造成的伤害(整数)。
      保证 pi最多包含 4位小数,且为一个合法的概率。 

    Output

      对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案,o是输出),你的输出才会被判为正确。

      建议输出10 位小数。 

    Sample Input

    1
    3 2
    0.5000 2
    0.3000 3
    0.9000 1

    Sample Output

    3.2660250000

    HINT

     一共有 13 种可能的情况: 

    1.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 
    概率为 0.15,伤害为5。 
    2.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 
    概率为 0.315,伤害为3。 
    3.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 
    概率为 0.035,伤害为2。 
    4.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 
    概率为 0.075,伤害为5。 
    5.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 
    概率为 0.0675,伤害为4。 
    6.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 
    概率为 0.0075,伤害为3。 
    7.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 
    概率为 0.1575,伤害为3。 
    8.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 
    概率为 0.04725,伤害为4。 
    9.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 
    概率为 0.11025,伤害为1。 
    10.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 
    概率为 0.0175,伤害为2。 
    11.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 
    概率为 0.00525,伤害为3。 
    12.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 
    概率为 0.011025,伤害为1。 
    13.  第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能; 
    概率为 0.001225,伤害为0。 
    造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 3.266025。 
     
    对于所有测试数据, 1 <= T <= 444, 1 <= n <= 220, 0 <= r <= 132, 0 < pi < 1, 0 <= di <= 1000。  
    除非备注中有特殊说明,数据中 pi与di均为随机生成。 
    请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。

    传送门

    虽然概率DP是很明显了,但是状态转移方程真鸡儿难想。

    思考的角度完全错了,做题的时候一直在想如何用f[i][j]表示第i轮前j张牌的期望伤害之类的,没想到正解转移的根本不是期望。。。

    实际上伤害的期望值$E=k[i] imes d[i]$,其中$k[i]$为第i张牌发动技能的概率。

    于是问题就转化为了求$k[i]$

    设f[i][j]为转移到第i张牌的时候,还剩j轮的概率。

    显然,转移到第i张牌的时候,还剩j轮的概率为 "在i-1张牌时剩j轮并未发动技能的概率" 加上 "在i-1张牌时剩j+1轮并发动技能的概率"。即$$f[i][j]=f[i-1][j] imes(1-p[i-1])^j+f[i-1][j+1] imes(1-(1-p[i-1])^j+1)$$

    那么$$E_{ans}=sum_{i=1}^n{sum_{j=1}^r (1-(1-p[i])^j) imes f[i][j] imes d[i]}$$

    代码不长。

     1 #include<cstring>
     2 #include<cstdio>
     3 #include<algorithm>
     4 #include<cmath>
     5 #define foru(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
     6 using namespace std;
     7 const int N=300;
     8 int n,T,r,d[N];
     9 double p[N],ans,f[N][N];
    10 int main(){
    11     scanf("%d",&T);
    12     while(T--){
    13         memset(f,0,sizeof(f));
    14         scanf("%d%d",&n,&r);
    15         f[0][r]=1;
    16         foru(i,1,n)scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
    17         double ans=0;
    18         foru(i,1,n)
    19             foru(j,1,r){
    20                 f[i][j]=(double)f[i-1][j]*pow(1-p[i-1],j)+f[i-1][j+1]*(1-pow(1-p[i-1],j+1));
    21                 ans+=(double)f[i][j]*(1-pow(1-p[i],j))*d[i];
    22             }
    23         printf("%.10lf
    ",ans);
    24     }
    25     return 0;
    26 }
  • 相关阅读:
    《这本书能让你戒烟》:野路子戒烟法。也许读者是否戒烟成功已经不重要了,重要的是这本书的销售非常成功。三星推荐
    《100种过度医疗大公开》:转译自日文版,日文版依据的是美国的“Choosing Wisely”项目。三星推荐
    《癌症·真相:医生也在读》:癌症新药专家的癌症防治科普,重点是免疫疗法。四星推荐。
    《抗癌前线:癌症研究的前沿进展》:肿瘤基因组学博士的肿瘤科普,三星推荐
    《医疗改革:给政策制定者的建议》:真的是给政策制定者看的,文风比较专业和枯燥,二星
    《120医生教您学急救》:内容还是偏专业,心肺复苏显然不应该是仅仅通过看书来学习的。三星推荐
    [TypeScript] Overload a Function with TypeScript’s Overload Signatures
    [TypeScript] Use TypeScript’s never Type for Exhaustiveness Checking
    [TypeScript] Represent Non-Primitive Types with TypeScript’s object Type
    [TypeScript] Define Custom Type Guard Functions in TypeScript
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/y-m-y/p/6840664.html
Copyright © 2011-2022 走看看