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蒙特卡洛算法
使用概率来求π（圆周率）和定积分，在不使用任何公式和特殊计算方法的前提下，实现小数点后多位的准确率，真的惊艳到我了。
我第一次接触蒙特卡洛算法，是在做数据采样的时候，这个名字是20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员乌拉姆和冯·诺伊曼首先提出。冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo来命名。
但其实早在1777年，法国数学家布丰提出用投针实验的方法求圆周率，就已经用到了蒙特卡罗法，只是那个时候并没有特别命名。
什么是蒙特卡洛法？
假如篮子里有1000个苹果，让你每次闭着眼睛找一个最大的，可以不限制挑选次数。于是，你可以闭着眼随机拿了一个，然后再随机拿一个与第一个比，留下大的，再随机拿一个，与前次留下的比较，又可以留下大的。循环往复这样，拿的次数越多，挑出最大苹果的可能性也就越大，但除非你把1000个苹果都挑一遍，否则你无法肯定最终挑出来的就是最大的一个。
也就是说，蒙特卡洛算法是样本越多，越能找到最佳的解决办法，不过不保证是最好的，因为如果有10000个苹果的话，说不定就能找到更大的。
也就是，通过大量随机样本，不使用任何公式和计算方法，得到所要计算的值。接下来，我们用4个例子一起来看看蒙特卡洛法的应用吧。
例子1：求10000个整数的中位数
先从中抽取m个数，m<10000，把它们的中位数近似地看作这个集合的中位数。随着m增大，近似结果是最终结果的概率也在增大。
例子2：求圆周率
给定一个边长为1的正方形，其内部有一个相切的圆
根据高中知识，可以简单算出它们的面积之比是π/4。
当我们在（0，1）的范围内随机选择一个坐标（x, y）时，每个坐标点被选中的概率相等。则坐标落在直径为1的正方形中的圆的概率为：
由切比雪夫不等式可知，在生成大量随机点的前提下我们能得到尽可能接近圆周率的值。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点服从均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
例子3：设0≤f(x)≤1，求定积分
设随机变量XX服从[0,1]上的均匀分布，则Y=f(X)的数学期望为
以估计J的值就是估计f(X)的数学期望值。由辛钦大数定律，可以用f(X)的观察值的均值取估计f(X)的数学期望。具体做法：
先用计算机产生n个服从[0,1]上均匀分布的随机数：
对每一个xi，计算f(xi)。然后计算
其精确值和用蒙特卡洛法得到的模拟值如下：
例子4：求自然底数e
首先考虑如下积分
接下来分别用蒙特卡洛积分和牛顿莱布尼兹公式计算，在蒙特卡洛方法中样本很多时，它们的值应该相等。利用蒙特卡洛方法，图像大致如下
上述积分的目的是求阴影部分的面积，所以先在所标矩形内取n对随机点
对于每一对
考察是否满足如下条件
假设满足上述条件的点有 m个，而全部的点有 n 个，所以得到近似公式为
而依据牛顿莱布尼兹公式可以得到
这两种方法结果应该是相等的，即有
参考文章
蒙特卡洛算法及其实现www.cnblogs.com蒙特卡洛方法与定积分计算 | 统计之都cosx.org
用蒙特卡罗方法求解圆周率_一笑而过_新浪博客blog.sina.com.cnCSDN-专业IT技术社区-登录blog.csdn.net
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蒙特卡洛算法使用概率来求π（圆周率）和定积分，在不使用任何公式和特殊计算方法的前提下，实现小数点后多位的准确率，真的惊艳到我了。我第一次接触蒙特卡洛算法，是在做数据采样的时候，这个名字是20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员乌拉姆和冯·诺伊曼首先提出。冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo来命名。但其实早在1777年，法国数学家布丰提出用投针实验的方法求圆周率，就已经用到了蒙特卡罗法，只是那个时候并没有特别命名。
什么是蒙特卡洛法？
假如篮子里有1000个苹果，让你每次闭着眼睛找一个最大的，可以不限制挑选次数。于是，你可以闭着眼随机拿了一个，然后再随机拿一个与第一个比，留下大的，再随机拿一个，与前次留下的比较，又可以留下大的。循环往复这样，拿的次数越多，挑出最大苹果的可能性也就越大，但除非你把1000个苹果都挑一遍，否则你无法肯定最终挑出来的就是最大的一个。也就是说，蒙特卡洛算法是样本越多，越能找到最佳的解决办法，不过不保证是最好的，因为如果有10000个苹果的话，说不定就能找到更大的。也就是，通过大量随机样本，不使用任何公式和计算方法，得到所要计算的值。接下来，我们用4个例子一起来看看蒙特卡洛法的应用吧。
例子1：求10000个整数的中位数先从中抽取m个数，m<10000，把它们的中位数近似地看作这个集合的中位数。随着m增大，近似结果是最终结果的概率也在增大。
例子2：求圆周率给定一个边长为1的正方形，其内部有一个相切的圆
根据高中知识，可以简单算出它们的面积之比是π/4。
当我们在（0，1）的范围内随机选择一个坐标（x, y）时，每个坐标点被选中的概率相等。则坐标落在直径为1的正方形中的圆的概率为：
由切比雪夫不等式可知，在生成大量随机点的前提下我们能得到尽可能接近圆周率的值。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点服从均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
例子3：设0≤f(x)≤1，求定积分
设随机变量XX服从[0,1]上的均匀分布，则Y=f(X)的数学期望为
以估计J的值就是估计f(X)的数学期望值。由辛钦大数定律，可以用f(X)的观察值的均值取估计f(X)的数学期望。具体做法：先用计算机产生n个服从[0,1]上均匀分布的随机数：
对每一个xi，计算f(xi)。然后计算
其精确值和用蒙特卡洛法得到的模拟值如下：
例子4：求自然底数e首先考虑如下积分
接下来分别用蒙特卡洛积分和牛顿莱布尼兹公式计算，在蒙特卡洛方法中样本很多时，它们的值应该相等。利用蒙特卡洛方法，图像大致如下
上述积分的目的是求阴影部分的面积，所以先在所标矩形内取n对随机点
对于每一对
考察是否满足如下条件
假设满足上述条件的点有 m个，而全部的点有 n 个，所以得到近似公式为
而依据牛顿莱布尼兹公式可以得到
这两种方法结果应该是相等的，即有
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