作用
前提：一个积性函数(F(i))，要求(F(P^k),Pin prime)可以快速计算
实现(O(frac{n^{frac{3}{4}}}{logn}))：(sumlimits_{i=1}^nF(i))
做法
为了简便运算，定义(min_i(P))为(i)的最小质因子
- 定义(g(n,j)=sumlimits_{i=1}^n[iin prime || min_i(P)>P_j]F(i))
理解：埃氏筛法筛了(j)个质数后剩下的数的(F(i))值之和
[egin{aligned}\
g(n,j)=
egin{cases}
g(n,j-1)&P_j^2>n\
g(n,j-1)-F(P_j)[g(frac{n}{P_j},j-1)-sumlimits_{i=1}^{j-1}F(P_i)]&P_j^2≤n\
end{cases}
end{aligned}]
理解((P_j^2≤n))：筛完前j-1个质数，筛掉的数除(P_j)后一定大于等于(P_j)
- 定义(s(n,j)=sumlimits_{i=1}^n[min_i(P)≥P_j]F_i)
[s(n,j)=g(n,|P|)-sumlimits_{i=1}^{j-1}F(P_i)+sumlimits_{k=j}^{P_k^2≤n}sumlimits_{e=1}^{P_k^{e+1}≤n}s(frac{n}{P_k^e},k+1)F(P_k^e)+F(P_k^{e+1})
]
理解：满足的质数(+[min_i(P)≥P_j])的合数(()枚举最小质因子的次数())
总结
(sumlimits_{i=1}^nF(i)=s(n,1)+F(1))
例题
咕咕咕