最小割总结

理解

最小割通常应用到有限制条件的问题上，初步学习时会较为难理解，希望在看完本文章后能对您有所帮助

两大建模理解：

• (inf)的边表示：不能被割，通常用于表示某点和某个集合定向关联

• 连边((s,u,w))表示：如果(u)不在(s)集需要付出(w)的代价

• ((u,v,w))表示：如果(u)在(s)割，(v)在(t)割需要付出(w)的代价

• ((u,v,w),(v,u,w))表示：如果(u)与(v)所属不同集合的时候需要付出(w)的代价

前置芝士

最大权闭合子图的思想

[TJOI2010]电影迷

虽然和最大权闭合子图有点像(()有正负权和依赖关系())，但具体的关系还是模糊的，所以往那方面想就肯定错了

首先将所有设备按正(源)负(汇)与超级点连接，容量为权值绝对值大小，在有依赖条件下，两点有向连接容量为限制费

思路大体：先全部选择正点权，再减去最小割，而三种对应的割法在于放弃那哪个(跟源点或汇点断开)或者两个都选(割限制费)

[NOI2010]海拔

显然这题是会把(0,1)确定一个分界线，用最小割做就行了

[HNOI2013]切糕

(D)限制抽象来说就是：选((i,j,k))，当((x,y))与((i,j))相邻时，选择范围在((i,j,[k-D,k+D]))

(pos_{i,j,k-1}xrightarrow{val_{i,j,k}} pos_{i,j,k})，而对于割这条边则表示选((i,j,k))，则(pos_{i,j,k-1}xrightarrow{inf} pos_{x,y,k-1-D},pos_{i,j,k}xrightarrow{inf} pos_{x,y,k+D})

这样保证了割掉((i,j,k))之后不割((x,y,[k-D,k+D]))会导致图依然联通

[CEOI2008]order

(S)与工作相连，容量为利润，机器与(T)相连，容量为费用

工作与机器的连边为租用费用，与其他工作不造成影响，虽然占用了机器与(T)的容量，但这是与是否买机器进行了似贪心的操作

文理分科

仅两种情况，拆点(黑色，白色)，二分图且与源点/汇点容量为价值，二分图之间的边容量(inf)
比如黑色的格外条件价值，同时选((x_i,y_i))，则格外价值为(val)
新建节点(nod)，(Sxrightarrow{val}nod,nodxrightarrow{inf}(x_i,y_i))
如果割掉了((x_i,y_i))与(S)的连边，那一定得割(val)，否则还是联通

[国家集训队]圈地计划

方格染色，黑(x)，白(y)：(Sxrightarrow{A} x,xxrightarrow{B}T;Sxrightarrow{B}y,yxrightarrow{A}T)

两种方法：

• 新建节点(nod,nod'),(Sxrightarrow{C_{i,j}}nod,nodxrightarrow{inf}(pos_{i,j}pos_{x,y});nodxrightarrow{C_{i,j}}T,(pos_{i,j}pos_{x,y})xrightarrow{inf},nod)

• (pos_{i,j}xrightarrow{C_{i,j}}pos_{x,y},pos_{x,y}xrightarrow{C_{i,j}}pos_{i,j})两个相邻的点仅会加(C_{i,j}+C_{x,y})，割(A,B)则也选择了(C_A+C_B)
  割(A,A)或(B,B)都会放弃(C_A+C_B)
  

土地划分

分析：(1)属于(A)，(n)属于(B)，其他的(i)规划到(A/B)的利益为(V_Ai,V_Bi)，相邻点同色有(S_A,v_B)的利益(值均不同)，相邻异色会损失(N)(值均不同)
(Sxrightarrow{inf}1,nxrightarrow{inf}1：)强制归属集合
(Sxrightarrow{V_{Ai}}i,ixrightarrow{V_{Bi}}：)分类
(Sxrightarrow{S_A}nod,nodxrightarrow{inf}(i,x);nod'xrightarrow{S_B}T,(i,x)xrightarrow{inf}nod')：文理分科建图，不赘述
(ixrightarrow{N}x,xxrightarrow{N}i：)圈地计划建图，不赘述

[六省联考2017]寿司餐厅

不重复计算，重重单向限制：最大权闭合子图

每个区间按正负与(S/T)连边，区间强制选择(pla_{i,j}xrightarrow{inf}(pla_{i+1,j}pla_{i,j-1}))，区间内的点强制选择(pla_{i,j}xrightarrow{inf}(pos_ipos_j))
点与编号的关系(pos_{i}xrightarrow{inf}id_{i})，点自身的费用(pos_{i}xrightarrow{id_i}T)，编号的费用(id_ixrightarrow{m*id_i*id_i}T)

[CQOI2017]老C的方块

观察非法情况都为两方块中夹着蓝线，两方块两边各另有一块其他颜色的，显然每对对紫块互不影响

我们染色后：

我们记白方块为(W)，黑为(B)，紫为(Z_1,Z_2)：(Sxrightarrow{val_W}W,Wxrightarrow{inf}Z_1,Z_1xrightarrow{min(val_{Z_1},val_{Z_2})}Z_2,Z_2xrightarrow{inf}B,Bxrightarrow{val_B}S)

[SDOI2014]LIS

破坏(LIS)显然是网络流的一个基本最小割模型

(C)各不相同，贪心选择即可，判断是否为最小割可行边(()是否(u)不能到达(v))，而每次选择后需要直接割掉，生产的结果是退流：(uxrightarrow{f_{u,v}}S,vxrightarrow{f_{u,v}}T)