二进制中1的个数

• 算法-求二进制数中1的个数  
• 问题描述  
• 任意给定一个32位无符号整数n，求n的二进制表示中1的个数，比如n = 5（0101）时，返回2，n = 15（1111）时，返回4  
•   
• 这也是一道比较经典的题目了，相信不少人面试的时候可能遇到过这道题吧，下面介绍了几种方法来实现这道题，相信很多人可能见过下面的算法，但我相信很少有人见到本文中所有的算法。如果您上头上有更好的算法，或者本文没有提到的算法，请不要吝惜您的代码，分享的时候，也是学习和交流的时候。

method1:
将二进制数byte v mod 2得到该二进制数中的最末尾一位，若为1则计数加1，否则为0。将二进制数除以2得到新的二进制数，将其赋给v，循环操作。
当得到的v中没有1即v==0时跳出循环。返回计数值即为二进制中1的个数。此算法时间复杂度为O(logv)。

int count(int  v){
      int num=0;
   while(v){
    if(v%2==1){
              num++;
    }
    v=v/2;
   }
   return num;
}

method2：
由于采用位操作比余操作的效率高很多，故在此采用位操作。但是时间复杂度仍为O(logv)。
将二进制数右移一位如10100010右移一位得到1010001，抛弃了最末尾一位。为了得到最末尾一位，将二进制数先与1进行与操作，若二进制数末尾为1，
与1与操作后结果为1。否则结果为0。直接将得到的结果加到计数变量上即可（若结果为0，加0不影响计数。若结果为1，加1则计数+1）。然后再将原
二进制数右移一位得到新的二进制数，直到新的二进制数为0，跳出循环。返回计数结果。

int count1(int v){
      int num=0;

   while(v){
    num+=v&0x01;
    v=v>>1;
   }
   return num;
}

method3:
为了简化这个问题，考虑只有一个1的情况。例如：01000000.
要判断给定的二进制数中只有一个1，可以进行如下的操作：
01000000 & （01000000-0x01）=01000000&00111111=0
这样可以将该二进制中的1消除掉。再扩展到有多个1的情况。对于二进制数byte v:
每进行一次v&=(v-1)将最低位的1变换成为0，计数器同时加1，直到v==0为止。
该算法的时间复杂度为O(M),M为二进制中1的个数。

int count2(int v){
     int num=0;
  while(v){
          v&=(v-1);
    num++;
  }
  return num;
}

method4:
由于只有8位数据，于是可以直接将0-255的情况存储起来，并使用分支操作。
该算法通过空间换时间来获取高的时间效率，最好情况下时间复杂度为O(1),最坏情况下时间复杂度为O(255)，故解法不可取。

int countTable[256]={
0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,
2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,1,2,2,3,2,3,3,4,
2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,
4,5,5,6,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,
2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,2,3,3,4,
3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,3,4,4,5,4,5,5,6,
4,5,5,6,5,6,6,7,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,
3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,
2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,3,4,4,5,
4,5,5,6,4,5,5,6,5,6,6,7,2,3,3,4,3,4,4,5,
3,4,4,5,4,5,5,6,3,4,4,5,4,5,5,6,4,5,5,6,
5,6,6,7,3,4,4,5,4,5,5,6,4,5,5,6,5,6,6,7,
4,5,5,6,5,6,6,7,5,6,6,7,6,7,7,8
};
int count4(int v){
   return countTable[v];
}

扩展问题
1. 如果变量是32位的DWORD，你会使用上述的哪一个算法，或者改进哪一个算法？
2. 另一个相关的问题，给定两个正整数（二进制形式表示）A和B，问把A变为B需要改变
多少位（bit）？也就是说，整数A 和B 的二进制表示中有多少位是不同的？

将A和B进行异或操作，相同为0，不同为1，操作后的结果中1的个数即代表AB二进制表示中有多少位不同。
设C=A^B,将问题转换为求C（二进制表示）中1的个数。采用method3即可求解。

#include<iostream>
#include "windows.h"

using namespace std;

int count5(int v){
     int num=0;
  while(v){
           v&=(v-1);
     num++;
  }
  return num;
}
int main(){
     int A,B;
  byte a,b,c;
  while(true){
          cin>>A>>B;
    c=A^B;
    int result=count5(c);
    cout<<"需要改变 "<<result<<" 位。"<<endl;
  }
  system("pause");
}