LeetCode(221) Maximal Square

题目:

Given a 2D binary matrix filled with 0’s and 1’s, find the largest square containing all 1’s and return its area.

For example, given the following matrix:

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

Return 4.

1、定义所谓的“状态”即什么表示什么：首先我依据已有信息初步判定本题的算法设计技术是二维动态规划即用一张二维表格存储结果；将问题转化为求取最大全1数组的边长，由于对边长平方的结果即为面积，有点又一次定义问题的味道。以下我開始研究可行解的结构，可行解是一个全1的数组，最优解是边长最大的可行解，最优值是最优解相应的值，最优解的一个属性边长；思考怎样将规模缩小呢？；对解进行分类，在这一块在那一块。考虑大问题与小问题的不同。以及这样的不同对可行解，最优解，最优值的影响。经过这一系列的思考。定义s[i，j] 为在（i。j）左上方的矩形的最大全1数组的边长。

2、考虑所谓的状态转移方程：s[i，j]依赖于s[i - 1，j]，依赖于s[i，j - 1]。还依赖于大问题与子问题的不同；s[i。j]与s[i - 1，j]、s[i，j - 1]的不同是元素（i。j）;那么究竟该怎样将子问题的结果贡献到问题的结果中呢？；定义a[i，j]为包括元素（i，j）的最大全1数组的边长，那么就得到s[i][j] = max(s[i][j - 1], s[i - 1][j], a[i][j]);

3、我们发现a[i][j]并非那么easy求取。但比s[i][j]easy求取。我表示非常开心。感觉一切已经上了轨道，二次动态规划：a[i][j]依赖于什么？。通过观察二维数组，a[i][j]依赖于a[i-1][j-1]；慢慢我发现只依赖于a[i-1][j-1]吗？还依赖于 从元素(i,j)出发的所在的行的连续1的个数、从元素(i,j)出发的所在的列的连续1的个数那么我们得到状态转移方程a[i][j] = min(a[i - 1][j - 1] + 1, tmpRow, tmpColumn);

4、以下的工作是：先填满表格a，再借助于表格a填满表格s

5、结束。

7、附录-重要的手稿，记录了思维过程，以及指导性话语。

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {

        if (matrix.empty()) {

            return 0;

        }

        int length = matrix.size();
        int width = matrix[0].size();

        vector<vector<int>> a(length ,vector<int>(width));

        for(int i = 0; i < width; i++) 

            a[0][i] = matrix[0][i] - '0';

        for(int i = 0; i < length; i++)

            a[i][0] = matrix[i][0] - '0';

        for(int i = 1; i < length; i++) {

            for(int j = 1; j < width; j++) {

                int tmpRow = 0;
                while(tmpRow <= j && matrix[i][j - tmpRow] == '1')

                    tmpRow++;

                int tmpColumn = 0;
                while(tmpColumn <= i && matrix[i - tmpColumn][j] == '1')

                    tmpColumn++;

                a[i][j] = min(a[i - 1][j - 1] + 1, min(tmpRow, tmpColumn));

            }

        }

        vector<vector<int>> s(length ,vector<int>(width));

        s[0][0] = matrix[0][0] - '0';

        for(int i = 1; i < width; i++) 

            s[0][i] = max(s[0][i - 1], matrix[0][i] - '0');

        for(int i = 1; i < length; i++)

            s[i][0] = max(s[i - 1][0], matrix[i][0] - '0');

        for(int i = 1; i < length; i++) {

            for(int j = 1; j < width; j++) {

                s[i][j] = max(max(s[i][j - 1], s[i - 1][j]), a[i][j]);

            }

        }

        return s[length - 1][width - 1] * s[length - 1][width - 1];

    }
};