离散数学知识点总结（8）-图论

一、图的基本概念

无向图可以用二元组G=<V , E>表示，其中E是无序积V&V的有穷多重子集。

无向图中，所有顶点度数之和∑deg(v)=2|E|，即奇数度的顶点数必是偶数。（自环在计度数时为2）

简单图：不存在自环、重边的无向图。由于每条边可用顶点对唯一表示，可用{v_i, v_j}代表e。

有向图中，入度之和∑deg⁺(v)=出度之和∑deg^-(v)=|E|

一些特殊的图

n阶零图/离散图N_n：n个顶点都是孤立顶点。1阶零图N₁称作平凡图。

k-正则图：所有顶点度数均为k

n阶完全图kn：任意互异顶点均相邻，是(n-1)-正则图

n阶竞赛图：基图是n阶完全图的有向图。必然包含哈密顿道路（可由归纳法证明）。

                  竞赛图可以看作循环赛的比赛结果，但此时通过找哈密尔顿道路确定排名的方法不太公平。

                  可以先求每个选手与对应对手的得分分量s1=(a₁,b₁,c₁,……)，其中a1是A选手战胜的对手数量

                  然后逐次求第k次的得分分量s_k，每个选手在第k级得分是其所战胜的对手在s_k-1中的前k-1级得分总和的和

                  若竞赛题为强连通图，且至少4个参数选手，最后排名一定收敛于固定的序列

圈图Cn：E={{u , v} | 1≤u , v≤n , u-v≡1(mod n)}

n-立方体图：顶点集V是由所有长度为n的二进制串组成，两个顶点标号序列仅一位数字不同时就相互连接。n≥3时称为n维超立方体图

二部图/二分图：简单图G的顶点集合可以划分为{V₁, V₂}使每一条边的两端都分属V₁和V₂

完全二部图/完全二分图K_r,s：V1中每个顶点都和V2中每个顶点相连，r=|V₁|，s=|V₂|

子图与补图

生成子图/支撑子图：V₂中包含了图G中所有顶点

导出子图：E₂中包含了图G中V2之间的所有边。

删点子图G-v：属于导出子图

删边子图G-e：属于支撑子图

补图：n阶简单图G的补图就是kn去除G的边集。若补图与G同构，则称其为自补图。

道路

简单道路/简单回路：该路径上没有重复的边，顶点可以重复。

初级道路/初级回路（圈）：道路中除了起点和终点，其它顶点只出现一次。即既不能有重复的边又不能有重复的顶点。

简单图中任一顶点都有deg(v)＞1时，必然存在初级回路

证明：取图中最长初级道路V₀~V_k，则V₀必然不会与不在道路上的顶点相交（否则存在更长的初级道路）。但由于deg(V₀)＞1，V₀必然会与道路上的顶点相交形成初级回路

连通性

连通分支：无向图G在可达性关系下的等价类{V₁, V₂, ... , V_k}，G关于它的每个导出子图都是一个连通分支

点割集V'：V'⊊V使得p(G-V')>p(G)，且对任意V''⊊V'都有p(G-V'')=p(G)。当V'={v}时称v为割点

边割集E'：E'⊊E使得p(G-E')>p(G)，且对任意E''⊊E'都有p(G-E'')=p(G)。当E'={e}时称e为割边

连通图：只有一个连通分支的无向图，其割边又叫桥

弱连通图：基图是连通图的有向图

强连通图：有向图中，任意两个顶点u和v，u到v和v到u都是可达的。（两个至少之一可达就是单连通图，也属于连通图）

二、欧拉道路与欧拉图

欧拉道路/回路：通过图G中每条边一次且仅一次的道路/回路。存在欧拉回路的图称为欧拉图，存在欧拉道路且不存在欧拉回路的图称为欧拉半图。

半欧拉图：无向图连通的且奇数度顶点恰有两个

有向图单向连通且奇数度顶点恰有两个（一个入度比出度大1、一个出度比入度大1），其它顶点出度入度相同。

欧拉图：无向图连通且所有顶点都是偶数度

    有向图强连通且每个顶点出入度相同

无向图为欧拉图条件的充要性证明：

必然性：显然成立

充分性：从任意顶点出发，作出图G中的简单回路C

    从图G删除C中所有边，再删除因此出现的孤立顶点，得到G'。由于所有顶点都是偶数度，删除后仍然是偶数度

    因为是连通图，删除后得到的新图G'和原图G必然存在共有顶点v

    从v出发在G'中作出新回路C'，与C相连，得到更长的简单回路

    不断重复该构造过程，直到得到欧拉回路

即欧拉图⟺图中所有边包含在相互没有公共边的简单回路中

Fluery算法：

（1）选择图中一个奇数度顶点v，如果不存在就任选一个

（2）如果v关联的边多于一条，选择其中不是桥的任意一条走

（3）删除经过的边，再删除因此出现的孤立顶点

（4）重复直到得到欧拉道路或欧拉回路

中国邮递员问题：带权无向图求每个边最少经过一次的最短回路。有欧拉回路时显然就是欧拉回路，没有时需要把所有奇数度顶点分成若干对，重复某些道路。

三、哈密顿道路与哈密顿图

哈密尔顿道路/回路：通过图G中每个顶点一次且仅一次的道路/回路，存在哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图（例如k_n都是哈密顿图）

    存在哈密尔顿道路且不存在哈密顿回路的图称为半哈密尔顿图   

图G中是否存在自环和重边不影响哈密尔顿道路/回路的存在性，因此只需考虑简单图的情况 

哈密顿图实际是NPC问题，充要条件未找到

如果G中任一对顶点u和v，都满足deg(u)+deg(v)≥n-1⟹ G中存在哈密尔顿道路⟹ G中不存在悬挂边

如果G中任意两个顶点u和v，都满足deg(u)+deg(v)≥n⟹ G是哈密尔顿图⟹ G中不存在孤立顶点 

哈密顿图中任意非空V₁⊆V，均有p(G-V₁)≤|V₁|（设C为任一哈密顿回路，V1中的顶点在C中互不相邻时p(G-V₁)有最大值|V₁|）

如果m≥(n²-3n+6)/2⟹ G是哈密尔顿图

证明：不妨用反证法，假设m≥(n²-3n+6)/2但图G中存在顶点u和v，满足deg(u)+deg(v)＜n

          删除这两个顶点和相应边，构成n-2阶简单图G'

 m'>m-(deg(u)+deg(v))>(n²-3n+6)/2-n=(n-2)(n-3)/2，与G'是简单图时m'≤(n-2)(n-3)/2矛盾

 故图中任意两个顶点均有deg(u)+deg(v)＞n，G一定是哈密顿图

旅行商问题/货郎担问题：n阶完全带权图（权为∞时代表无交通）求最短哈密尔顿回路，足有(n-1)!/2条哈密尔顿回路，是NPC问题，至今无有效算法

可以采用最邻近算法近似：选择任一顶点作为开始点，选择最近的点，形成初始路径。随后不断选择不在路径中的距离最近的点加入到路径中。

例题：有七名科学家参加一个会议，已知A只会讲英语，B会讲英语和中文，C可以讲英语、意大利语和俄语，D会日语和中文，E会德语和意大利语，F会讲法语、日语和俄语，G可以讲德语和法语。可否安排他们在一个圆桌围坐，使得相邻的科学家都可以使用相同的语言交流 

A：英语 

B：英语和中文 

C：英语、意大利语和俄语 

D：日语和中文 

E：德语和意大利语 

F：法语、日语和俄语 

G：德语和法语 

例题：假设在 n（n≥4）个人中，任意两人合在一起能认识其余的n-2个人，则他们可以围成一圈，使相邻者相识。 

证明：deg(u)+deg(v)≥n-2+1+1=n

 

例题：有6门考试ABCDEF必须安排在连续6天，假设每人选修课的情况有DCA、BCF、EB、AB，应如何安排考试使得没有人连续两天考试

思路：作出6阶完全图，去掉DCA间的边、BCF间的边、EB间的边、AB间的边，然后从图中找出一条哈密尔顿道路。 

四、平面图

平面图：所有面的次数之和是边数的两倍；桥只能是一个面的边界，在计算次数时算两条边

极大平面图、极小非平面图

n-m+面数f=连通分支数l+1

首先用数学归纳法证明l=1时成立：

m=0时n=1、f=1，n-m+f=2成立

假设m=k时n-m+f=2成立

m=k+1时，若图中存在悬挂边，则删除后n减1、m减1、f不变，n-m+f的值不变

                   若不存在，则每个顶点的度数均大于1 ，图中存在初级回路，回路上任意边都是两个面的边界，删去后m减1、f减1，n-m+f的值不变

当l≠1时，n₁-m₁+f₁=n₂-m₂+f₂=...=n_l-m_l+f_l=2

       (n₁+n₂+...n_l)-(m₁+m₂+...m_l)+(f₁+f₂+...f_l)=n-m+f+(l-1)=2l

      n-m+f=l+1

若每个面的次数最少为t，则tf≤2m，代入上式得m≤(n-2)·t/(t-2)

t必定至少为3，因此m≤3n-6；当t至少为4时，则m≤2n-4

平面图至少存在一个度数不超过5的顶点 

证明：若全部顶点的度数均大于5，6n≤2m与m≤3n-6矛盾

库拉托夫斯基定理：一个无向图是平面图它不包含与K₅或K_3,3的细分同构的子图（K₅和K_3,3都是非平面图） 

对偶图

在图 G 中的每个面（包含外部面）内画一顶点 ，在这些新的顶点之间添加边，每条新的边恰与G中的每一条边相交一次 

n*-m*+f*=f-m+n=2

得到的图G的对偶图图G*也是平面图，必定连通

五、顶点支配、独立、覆盖

点支配集

对于任意 v∈V-D，都存在u∈D，使得uv∈E

极小支配集：D的任何真子集都不是支配集

支配数γ(G)：最小支配集的元素数

点独立集

对于任意u , v∈S，都有uv不相邻

极大独立集：S不是其它任何独立集的子集。此时任意u∈V-S，都有v∈S使得u与v相邻。

独立数α(G)：最大独立集的元素数，α(G)≥|任一极大独立集|=|对应极小支配集|≥γ(G)

所有独立集中，只有极大独立集也是支配集，而且它是极小支配集

点覆盖集

对于任意e∈E，都有v∈V*，使得v是E的一个端点

极小点覆盖：V*的任何真子集都不是点覆盖。此时不存在所有相邻顶点都属于V*的顶点

点覆盖数β(G)：最小点覆盖的元素数，β(G)≥γ(G)

V*是点覆盖集当且仅当V-V*是独立集

证明：若V*是点覆盖集但V-V*不是独立集，则存在顶点u, v∈V-V*使得uv相邻，这与V*是点覆盖集矛盾

  若V-V*是独立集但V*不是点覆盖集，则存在边uv∈E使得u, v∈V-V*，这与V-V*是独立集矛盾

V*是极小点覆盖集当且仅当V-V*是极大独立集。 

V*⊆V是最小点覆盖集当且仅当 V-V*是最大独立集，α(G)+β(G)=|V|

总结

极小支配集、最小支配集、极大独立集、最大独立集、极小点覆盖、最小点覆盖都未必唯一

完全图Kn的支配数为1、独立数为1、点覆盖为n-1

完全二部图K_m,n的支配数为min(m, n)、独立数为max(m, n)、点覆盖数为min(m, n)

六、图的着色

利用对偶图的概念，可以把平面图G的面着色问题转化为研究对偶图 G* 的点着色问题 

利用线图的概念，可以把平面图G的边着色问题转化为研究线图的点着色问题 

点着色数χ(G)就是将顶点集V关于独立集作划分时，划分块为最少时的数目，它的确定是一个NPC问题

χ(K_n)=n，χ(K_m,n)=2，

χ(C_n)=2（n为偶数）或3（n为奇数）

Welch-Powell算法

该方法得到的不一定是最优方法：

（1）将图中顶点按度数不增的方式排成一个序列 

（2）使用一种新颜色对序列中的第一个顶点进行着色，并且按照序列次序，对与已着色顶点不邻接的每一顶点着同样的颜色，直至序列末尾。然后从序列中去掉已着色的顶点得到一个新的序列 

（3）对新序列重复步骤2直至得到空序列