中国剩余定理 互质与非互质版本

中国剩余定理互质版

     设m1，m2，m3，...，mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj)=1，i!=j，i,j=1,2,3,...,k.

则同余方程组：

x = a1 (mod n1)

x = a2 (mod n2)

...

x = ak (mod nk)

模[n1,n2,...nk]有唯一解，即在[n1,n2,...,nk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x = ai mod [n1,n2,...,nk], i=1,2,3,...,k。

解可以写为这种形式：

x = sigma(ai* mi*mi') mod(N)

      其中N=n1*n2*...*nk，mi=N/ni，mi'为mi在模ni乘法下的逆元。

 例题 codevs 3990 中国余数定理2

/*
作者:Best
题目:p3990 中国余数定理 2
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,l,r,b[11],m[11],M[11],Mi[11],s=1,ans,sum,x,y;
void E_gcd(ll a,ll b)
{
    if(!b){x=1;y=0;return;}
    E_gcd(b,a%b);int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
}
int main()
{
    cin>>n>>l>>r;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      cin>>m[i]>>b[i],s*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
      M[i]=s/m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          x=y=0;
          E_gcd(M[i],m[i]);
          Mi[i]=(x+m[i])%m[i];
      }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      ans=(ans+M[i]*Mi[i]%s*b[i])%s;
    if(ans<l||ans>r)ans=sum=0;
    else sum=(r-ans)/s+1;
    cout<<sum<<endl<<ans;
    return 0;
}

中国剩余定理非互质版

例题 HUD 1573 X问题

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll T,n,m,a[11],b[11],x,y,gcd;
void E_gcd(ll ai,ll bi)
{
    if(!bi){x=1;y=0;gcd=ai;return;}
    E_gcd(bi,ai%bi);
    ll tmp=x;x=y;y=tmp-ai/bi*y;
}
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
      {
          cin>>n>>m;
          for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i];
          for(int i=1;i<=m;i++)cin>>b[i];
          int falg=0;ll a1=a[1],b1=b[1];
          for(int i=2;i<=m;i++)
            {
                ll a2=a[i],b2=b[i];E_gcd(a1,a2);
                if((b2-b1)%gcd){falg=1;break;}
                x*=((b2-b1)/gcd);ll t=a2/gcd;
                x=(x%t+t)%t;b1+=a1*x;
                a1=(a1*a2/gcd);b1=(b1%a1+a1)%a1;
          }
        if(falg||b1>n)cout<<"0"<<endl;
        else cout<<(n-b1)/a1+1-(!b1?1:0)<<endl;
      }
}