要明白树状数组的本质就是“单点修改,区间查询”
怎么实现“区间修改,区间查询”呢?
观察式子:
a[1]+a[2]+...+a[n]
= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n])
= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]
= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n]) (式子①)
那么我们就维护一个数组c2[n],其中c2[i] = (i-1)*c[i]
每当修改c的时候,就同步修改一下c2,这样复杂度就不会改变
那么
式子①
=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)
于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询
举个例子:
il void add(re int x,re int k){for(re int i=x;i<=n;i+=i&-i) t[i]+=k,t1[i]+=1ll*x*k;}
il ll Query(re int x){re ll res=0;for(re int i=x;i;i-=i&-i) res+=t[i]*(x+1)-t1[i];return res;}(见“K大数查询”)