数论进阶

https://zybuluo.com/ysner/note/1110341

数论分块

求解(sum_{i+1}^nlfloorfrac{n}{i} floor)
据观察，(lfloorfrac{n}{i} floor)的取值只有(sqrt{n})个。
定理：若有一个值(i)，那么数论分块中其同值上界为(ceil=lfloorfrac{n}{lfloorfrac{n}{i} floor} floor)。
即在([i,ceil])这一段区间内，(lfloorfrac{n}{i} floor)的取值是一样的，于是可计算整块贡献。

int l = 1 , r , ans = 0;
while(l<=n){
    r = n/(n/l);    
    ans += (r-l+1)*(n/i);
    l = r + 1;
}

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莫比乌斯反演

莫比乌斯反演有两种形式。。。

第一种

如果我们有函数(f(x)),以及(g(x))，并且有$$g(x)=sum_{dmid x}f(d)$$
那么，我们就有

[f(x)=sum_{dmid x}mu (frac{x}{d})g(d) ]

第二种

如果我们有函数(f(x)),以及(g(x)),并且有：$$g(x)=sum^n_{xmid d}f(d)$$
其中(n)是我们限定的一个范围
那么我们可以得到：

[f(x)=sum_{xmid d}^nmu(frac{d}{x})g(d) ]

至于(mu)函数，叫做莫比乌斯函数。

一个数(a)，若其有质因子次数为(2)及以上,(mu(a)=0)。
否则，若其有偶数个质因子，(mu(a)=1)
否则，若其有奇数个质因子，(mu(a)=-1)
至于运用？留个坑，以后写总结吧。