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关于倍增

学习博客

前几天(lyk)给我们讲了倍增但是(emmmm)他说话声音也太小了，坐在后排根本听不清楚诶，前边一群大佬还在叽叽喳喳的说话，上课效率低得一批。

[color{purple}{我太难了} ]

顾名思义倍增就是倍增，用(dsr)大佬的话来说就是(wuwu)腻。

我们有一个数组(f[i][j])表示从(i)开始的长度为(2^j)的区间即区间([i,i+2^j])

递推公式：

预处理ST表
(f[i][j]=max(f[i][j-1]),f[i+2^{j-1}][j-1])
说句闲话：
为什么这么写？我之前第一遍自己学的时候，看其他人的博客，有的直接不解释，有的说自己揣摩(qwq)，我就是揣摩不出来才去看您的(blog)的哇。
后来(lyk)讲课问谁没听懂，偌大的教室里，只有我的小短手在教室后边高高的自信的举起，再不会就对不起(lyk)的一对一辅导了.

灵魂画师又要入场了

多么清晰~多么明了~博主已飘

for(int i = 1; i <= m; i++) f[i][0] = read();//自己到自己这个区间
for(int j = 1; j <= log(m); j++)
	for(int i = 1; i + (1 << j) <= m; i++)
		f[i][j] = min(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); 

j的循环范围

这里说一下为什么循环外层是(j)
再说一句闲话：
(wtf)？刚刚我在画图，阿龙过来来了一句：“你又待聂画画，打草纸组啥，光待聂画画。”嗯？？你告诉我往草纸上画咋粘博客里。双面胶？来来来，舞台留给你，请开始你的表演。于是乎，(lkx)大佬帮我画了张图

回归正题，咱们看图说话并没有什么用的图假设我们先枚举(i)那么我们的枚举顺序就是([1,1],[1,2]......[1,m])当我们更新到([1,2])时，就要用到([1,1])和([2,2])这两个点，但是由于我们的外层循环是(i)此时的([2,2])还没有值，所以这样更新出来的就是错的。

查询：

把我们需要查询的区间([l,r])分成两段([l,2^k])到([r-2^k+1,r])其中这个(k)是(2^k leq r-l+1)的所有数中的最大的数，就算这两部分互相覆盖由于他们是取最值，所以对答案没有影响
(f[l][r]=max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]))
为什么左端点是(r-2^k+1)可能只有我这样的才会问了好久才明白
简单一点我们设(L)为他的左端点，因为是一个闭区间且已知区间长度及区间右端点，可得方程(r-L+1=2^k)解得L即为左端点

倍增其实还有个很常用的应用:

求LCA！

此时设(f[i][j])表示从节点(i)向上跳(2^j)个节点
(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1])

void work(int x, int fa) {
	f[x][0] = fa;
	dep[x] = dep[fa] + 1;
	for(int i = 1; i < 20; i++) 
		f[x][i] = f[f[x][i - 1]][i - 1];
}
void dfs(int x, int fa) {
	work(x, fa);
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) 
		if(e[i].to != fa) work(e[i].to, x);
}

(dfs)的过程中更新
一种优化常数的方法：先处理出(lg)数组，表示以(2)为底(i)的对数

for(int i = 2; i <= n; i++)
	lg[i] = lg[i >> 1] + 1;

查询：

先使两个待查询的点跳到同一深度，然后再从(i)开始枚举，逼近他们的LCA，最后一定会是在他们的LCA的下一层，最后直接输出当前节点的爸爸也就是(f[i][0])

	if(dep[a] < dep[b]) swap(a, b);
	for(int i = 20; i >= 0; i--) 
		if(dep[f[a][i]] >= dep[b])
			a = f[a][i];//跳到同一深度 
	if(a == b) return a;//或者是b反正他俩都一样
	for(int i = 20; i >= 0; i--)
		if(f[a][i] != f[b][i])
			a = f[a][i], b = f[b][i];//同时跳 
	return f[a][0]; 
}

(qwq)貌似是有(O(1))的的查询的喂

我：“(lyk)，我(O(1))查询的不会”
大佬：“(hai xie),不用会这锅啊，,谁写这(hu)滴啊”

路径最小权值

我们设(w[i][j])表示从节点(i)向上跳(2^j)个节点内所经过的最小的权值

for(int j = 1; j < 20; j++)
	for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= tot; i++)
		w[i][j] = min(w[i][j - 1], w[f[i][j - 1]][j - 1]);
//f[i][j]是预先处理处的代表i号点向上跳2^j步之后跳到的节点 

历时一上午多点我总算把这篇文章磨完了........

谢谢收看， 祝身体健康！