近世代数概论------整数

近世代数概论------整数

• • • 交换环
    • 交换环基本性质
    • 有序整环
    • 良序原则
    • 数学归纳法
    • 可除性
    • 欧几里得算法
    • • 公因子
      • 公倍数
      • 求(g.c.d.)
    • 算术基本定理
    • 同余式
    • 环Zn
    • 集合、函数与关系
    • • 集合
      • 函数
      • 关系
    • 同构与自同构

交换环

交换环由一个集合与定义在该集合上的两个二元运算" + , * "组成。并且交换环还需要满足如下条件：

• 封闭性： " + , * "产生的结果仍在该集合中。
• 唯一性： 如果元素对应相同的两对元素：$a=a^{\prime },b=b^{\prime }$，则对应的$a+b=a^{\prime }+b^{\prime },a\ast b=a^{\prime }\ast b^{\prime }$。
• 交换律： " + , * "运算满足交换律。
• 结合律： " + , * "运算满足结合律。
• 分配律： " + , * "运算满足分配律。
• 幺元： " + , * "运算存在幺元。
• 逆元： " + "运算存在逆元$a^{-1}$，有$a+a^{-1}=e$(元素与其逆元运算得到幺元e)。

整数集与加法与乘法构成一个环，加法与乘法的幺元分别为0与1，在整数集上不能为每一个数找到对应的逆元有$a\ast a^{-1}=1$，正应如此无法保证对任意的$c�=0,ac=bc$，有$a=b$，但是整数集上是满足该性质的，所以追加：

• 消去律： 若$c�=0,ac=bc$，有$a=b$(乘法)。

满足该条件的交换环为整环。

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例子： 整环$Z[\sqrt{2}]$均有如下的形式$a+b\sqrt{2}$
相应的加法与乘法运算：

• 加法： $(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2})$
• 乘法： $(a+b\sqrt{2})\ast (c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(bc+ad)\sqrt{2})$
• 加法与乘法的幺元分别为$(0+0\sqrt{2})$,$(1+0\sqrt{2})$
• 对应加法元素$(a+b\sqrt{2})$的逆元由a，b元素的逆元组成$(-a)+(-b)\sqrt{2}$

由于加法与乘法的运算实际还是二元运算，只是元素的形式变化了，所以结合律，交换律，分配律也是对应成立的。

交换环基本性质

逻辑法则与证明：

• 自反律： $a=a$
• 对称律： $a=b$，则$b=a$
• 传递律： $a=b,b=c$，则$a=c$

使用这几个定律可以对如下进行证明：

• $(a+b)c=ac+bc$（右分配律）
• 整数集上任意a，有$0+a=a,1\ast a=a$（幺元）
• 对于整数上的$a+c=a$，则c必为0（加法幺元）
• $a+b=a+c$，则$b=c$（加法消去律）
• 对整数集中的每个元素a，$a+x=0$有唯一解（逆元唯一）$a+x=0$有唯一解
• 上面扩展为一般为$a+x=b$有唯一解
• 整数集中的任意元素a，有$a\ast 0=0=0\ast a$（乘法零元）
• 整数集上$a\ast u=a$，则$u=1$（乘法幺元唯一）
• 整数集上的$a,b$，有$(-a)(-b)=ab$

以最后一个进行证明：
$ab+a(-b)+(-a)(-b)=ab+a(-b)+(-a)(-b)$（自反律）
$[ab+a(-b)]+(-a)(-b)=ab+[a(-b)+(-a)(-b)]$（结合律）
$a[b+(-b)]+(-a)(-b)=ab+[a+(-a)](-b)$（分配律）
$b+(-b)=0=a+(-a)=a\ast 0=0\ast (-b)$（元素逆元，乘法零元）
$(-a)(-b)=ab$（证毕）

对于的应用到二次方程中$(x-a)(x-b)=0$，即$ab=0$，对应$a=0$或者$b=0$，于是有$x-a=0$或者$x-b=0$，但是不是对于所有的环中都有该论断，但是在整数环中这是满足的(整数环中有消去律)。
因此，消去律可以与非零因子之积非零对应联系。

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例子： 整环$Z[\sqrt{2}]$的消去律对应为：
$(a+b\sqrt{2})\ast (c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(bc+ad)\sqrt{2})=0$
若使对应等式成立有：$ac+2bd$=0且$bc+ad=0$
$(ac+2bd)d$=0且$(bc+ad)c=0$（分配律）
$acd+2b{d}^2=b{c}^2+acd$有$2b{d}^2=b{c}^2$（加法元素的逆）
于是有b=0或者$2d^2=c^2$

• b=0时，对应$ac=0=ad,a=0$，则对应的$(a+b\sqrt{2})$为零因子。
• $2d^2=c^2$，则$\frac{c}{d}=\sqrt{2}$，显然无理数不符，只有对应的$(c+d\sqrt{2})$为零因子。

因此如果元素之积为零，那么必存在零因子，其逆否命题非零因子之积非零成立。

整环的子集对应的子整环，对应充要条件为运算的封闭性，并且子集中要含有(0,1)两个元素，并且包含任意元素加法运算的逆元。

有序整环

有序性希望可以表达一种次序关系，这个次序在整数集中往往就是一种大小关系，如果有元素a位于元素b的左边，那么对应有$a<b$。
仅从正整数的性质考虑：

• 加法律： 两个正整数的和仍为正整数。
• 乘法律： 两个正整数的积仍为正整数。
• 三分律： 对于整数a。其要么为0，要么为正整数，要么$-a$为正整数。

通过这些正元素的性质，描述了整环中的有序性，即整环中对应的正元素满足上述性质，则为有序整环。

• 任意有序整环中非零元素的平方皆为正值。

非零元素a，对应的平方$a^2$，若a为正显然成立，若a为负对应$(-a)(-a)=a\ast a$为正也成立。

在有序整环上描述一个大小关系$a<b$，可以转变为$b-a$为正去描述一个正元素，进一步的将正数a描述为$a>0$，负数b描述为$b<0$。

• 不等式两边同时加一个元素，$a<b$，则$a+c<b+c$
• 不等式两边同时乘一个正元素，$a<b,c>0$，则$ac<bc$。
• 三分律在不等式上为，任意a，b，要么$a>b$，要么$a=b$，要么$a<b$.

有序整环上的绝对值定义，若a为0，则对应的$|a|=0$，否则$|a|$取元素对$a,-a$中的正元素。

良序原则

有序整环的任意非空子集C中都包含了最小元素c有$c\in C,\forall n\in C$有$c\le n$。

• 0和1之间没有整数

使用良序原则来进行证明，如果存在整数c在$0<c<1$，这些整数构成集合C。该集合C中的最小元素为m，$0<m<1$，对应的$m^2$有$0<m^2<1$。
$0<m<1$两边同乘m，$0<m^2<m$，显然$m^2$也在集合C中，但是与最小元素m之间矛盾，证毕。

• 如果正整数集S中包含1，且其包含n时其必包含n+1，则该正整数集S包含任意整数。

使用良序原则证明：
如果存在不在S中的正整数构成集合$S^{\prime }$，$S^{\prime }$符合良序条件，其最小元素m，显然$m>1$，对于$m-1$，$(m-1)\in S$，对应m为$(m-1)+1$，所以m应为S中的元素，不符，证毕。

数学归纳法

将上面的整数集定理进行扩展，将对正整数的定义扩展为对关于正整数的命题集的定义：

• 第一原理： 命题P(n)与正整数n有关，命题有真值，要么为真，要么为假；如果P(1)为真，对所有整数k，由P(k)可以推导出P(k+1) ，那么对于一切正整数n都有P(n)为真。
• 第二原理： 命题P(n)与正整数n有关，若对于每个正整数m，对一切小于m的k，有P(k)为真，则可推导出P(m)为真，那么对于一切的正整数n都有P(n)为真。（P(1)要单独证明，没有小于1的正整数）

例子： 对第二原理进行证明。
S为P(n)中错误的集合，若S不为空，则对应的存在最小元素m为P(m)，对于P(m-1)而言其为真，并且$v<m,P(v)\notin S$，$P(v)$为真，由递推关系可以得到P(m)为真，矛盾，证毕。

指数定律
$a^m{a}^n=a^{m+n},(a^m{)}^n=a^{mn},(ab{)}^m=a^m{b}^m$
同样也可以使用数学归纳法进行证明。

可除性

对于除法而言，其不满足在整数中运算的封闭性，一般使用$ax=b$方程的解来描述。

• 整环中如果存在整数q使得$b=aq$，则元素b可被a整除，记为$a|b$，a为b的因子，b为a的倍数。
• 1的因子称为整环的单位或者可逆元素。

可除性这一关系也满足自反律与传递律：

• $a|a$
• $a|b,b|c$，则$a|c$

$\pm 1$为整数上仅有的单位。

• 整数a，b有$ab=1$，则有$a=\pm 1,b=\pm 1$
• 若整数a，b有$a|b,b|a$，则有$a=\pm b$

素数： 整数P不为0或者$\pm 1$，且P只能被$\pm 1,\pm P$整除，则P为素数。

欧几里得算法

使用一种表达式的方式来描述除法运算，即对于给定的整数a，b，$b>0$，存在整数q与r，使得有以下等式成立：$a=bq+r,(0\le r<b)$。
唯一性证明： 如果存在两个满足条件的$q,q^{\prime }$与$r,r^{\prime }$有$bq+r=b{q}^{\prime }+r^{\prime }$，则对应有$r-r^{\prime }=b(q^{\prime }-q)$，显然$r-r^{\prime }$小于b，而$b(q^{\prime }-q)$为b的倍数，所以在整数范围内，$q^{\prime }-q=r-r^{\prime }=0$，证毕。

加法与减法运算封闭的非空整数集合，其要么由零组成，要么由一个最小正整数与其倍数组合。
证明： 如果集合中只含0元素，显然成立，如果不是仅有0元素，对任意元素a有$a-a=0$，所以0也在该集合中，除此之外，对于最小的正整数b，对于任意倍数的正整数$kb$由加减法可以得到其在集合中。
假设存在非为b的倍数的正整数c有$c=kb+r$，显然r是小于b的，而由减法$r=c-kb$，r也是在这个集合中的，这与b为最小正整数矛盾，证毕。

公因子

整数m为a与b的公因子，并且是任何其他公因子的倍数，对应m为a与b的最大公因子(a,b)(g.c.d.)，对于m有：

• $m|a,m|b$，且$c|a,c|b$有$c|m$

对于任意的$a�=0$，$b�=0$，有最大公因子(a,b)，其可以表示为具有整系数s，t(可以为负值)的线性组合：$(a,b)=sa+tb$。

证明： 对于$sa+tb$形式的数，在加法与加法运算中是封闭的：
$(s_{1}a+t_{1}b)\pm (s_{2}a+t_{2}b)=(s_1\pm s_1)a+(t_2\pm t_2)b=sa+tb$
由之前的定理可以得到，该集合可以由一最小的整数$d=sa+tb$与其倍数组成，由于(a,b)为a，b的最大公因数，所以对于$d=sa+tb$其必为(a,b)的倍数，而对于$a=1\ast a+0\ast b,b=0\ast a+1\ast b$也都在集合中，其也是由d通过倍数产生的，所以d为a与b的最大公因子。

公倍数

任意两个整数a，b有最小公倍数$m=[a,b]$(l.c.m.)，其为a，b每个公倍数的因子，且又为a与b的公倍数。

• $a|m,b|m$，且$a|c,b|c$有$m|c$

求(g.c.d.)

对于整数a，b，假设a较大一点，有：

• $a=bq+r$

显然要整除a与b必须要能整除r，能整除r与b的整数必能整除a，因此问题就转换为求b与r的公因子，同样的方式b与r表示为：($0\le r<b$)

• $b=r{q}_1+r_1$
• $r=r_1{q}_2+r_2$
• …
• $r_{n-1}=r_n{q}_{n+1}$

$(a,b)=(b,r_1)=(r_1,r_2)=....=(r_{n-1},r_n)$
最终随着r的减小，必有一个值可以将$r_i$整除，即$(r_{n-1},r_n)=r_n$，其也就是$(a,b)$。
将上式变化一下有：

• $r=a-bq=1\ast a+(-b)q$
• $r_1=b-r{q}_1=1\ast b+(-r)q_1$
• $r_2=r-r_1{q}_2=1\ast r+(-r_1)q_2$
• …
  与上面的$(a,b)=sa+tb$对应。

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如果P为素数，且$P|ab$，则$P|a$或者$P|b$

证明： 对于P仅有$1|P，P|P$，(a,P)=1因此显然有$1=sa+tP$，之后两边同乘b有：$b=sab+tPb,P|(sab+tPb),P|b$成立，$P|a$同理。

互素： 两个数的最大公因子为1

• 如果$(c,a)=1,c|ab$，则$c|b$
• 如果$(c,a)=1,a|m,c|m$，则$ac|m$

对第二个进行证明：
m可以表述为$ad=m$，并且$c|m$，由第一个定理知$c|d$，有$m=ad=a(ct)$，证毕。

算术基本定理

算术基本定理： 整数的素数因子分解唯一。
任意非零整数可表示为单位$(\pm 1)$乘以正素数的积，不关注其表达顺序，其素数的个数与值的情况唯一。

证明： 使用数学归纳法来证明，如果数m为素数或1则P(m)显然成立，如果m不为素数，则m可以写为$m=ab$的形式，对应的a与b均小于m，所以可以递归的证明P(a)与P(b)(归纳法中的第二原理)

而唯一性的证明为，假定m可以表示为两种不同的素数序列$p_1{p}_2...p_n=q_1{q}_2...q_n$，而由上面的定理，$p_1|q_1{q}_2...q_n$，所以存在一个$q_i$使得$p_1|q_i$，然而$p_1,q_i$均为素数，所以有$p_1=q_i$。

重复这一过程，可以得到两个表示是一一对应的，除了排列的顺序不同之外其数值与数字的个数是完全相同的，所以唯一性得以证明，而由于素数$q_i,p_i$均为正数，所以表达式前面的单位$(\pm 1)$也是相同的。

最终得到如下的表达：($e_i$为该数出现的次数)
$a=\pm p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}...p_n^{e_n}$
这里取$(1<p_1<p_2<....<p_n)$均为素数。

同余式

同余对应的是模运算，如果两个数a，b除以相同的数m后得到相同的余数，则称a与b对模m同余。记为$a\equiv b(modm)$。

• a，b两个整数对模m同余当且仅当其除以$|m|$后剩下相同的余数。
• $a\equiv b(modm)$当且仅当$m|(a-b)$

很显然$a-b$可以表示为$km$，对应的a可以表示为$km+b$，其与b除以m后得到相同余数。

固定模m的同余关系具有以下性质：

• 自反律： $a\equiv a$
• 对称律： $a\equiv b,b\equiv a$
• 传递律： $a\equiv b,b\equiv c$则$a\equiv c$
• 代换性质： $a\equiv b(modm)$，对任意整数x有：$a+x\equiv b+x,ax\equiv bx,(modm)$
• 消去律(严苛的)： c与m互素时，$ca\equiv cb(modm)$，则$a\equiv b(modm)$

消去律的证明：由上面的加法形式得$m|c(a-b)$形式，而c与m互素，所以必有$m|a-b$，证毕。

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• c与m互素，同余式$cx\equiv b(modm)$有整数解，且任意两个解$x_1,x_2$对模m同余。

由消去律$x_1,x_2$对模m同余是显而易见的，现证明$cx\equiv b(modm)$有整数解：

证明： 由于$(c,m)=1$(互素)，所以有$1=sc+tm$，同乘b后有$b=bsc+btm$，显然$b\equiv bsc+btm\equiv bsc\equiv (bs)c$，bs即为对应的x，证毕。

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• p为素数，并且$c�\equiv 0(modp)$，则$cx\equiv b(modp)$有模p的唯一解。

这里换了一种表述，p为素数，并且$c�\equiv 0(modp)$，显然c与p互素，由上面的定理，任意两个解$x_1,x_2$对模m同余，用一个同余关系$x\equiv d(modp)$来表示，即有模p的唯一解

• 模$m_1,m_2$互素，则对应同余式$x\equiv b_1(mod{m}_1),x\equiv b_2(mod{m}_2)$有公共解x，并且任意两个解对模$m_1{m}_2$同余。

证明： x为第一个方程的解，于是有$x=b_1+y{m}_1$，带入第二个方程$b_1+y{m}_1\equiv b_2(mod{m}_2)$，化简一下$y{m}_1\equiv b_2-b_1(mod{m}_2)$，对应将$b_2-b_1=b$，于是$y{m}_1\equiv b(mod{m}_2)$，由上面的定理y有解，所以存在公共解$x=b_1+y{m}_1$。

对于公共解$x,x^{\prime }$有$x\equiv b_1(mod{m}_1),x^{\prime }\equiv b_1(mod{m}_1),x\equiv b_2(mod{m}_2),x^{\prime }\equiv b_2(mod{m}_2)$，得到$x-x^{\prime }\equiv 0(mod{m}_1),x-x^{\prime }\equiv 0(mod{m}_2)$，对应$(x-x^{\prime })|m_1,(x-x^{\prime })|m_2$，由于$m_1,m_2$互素，所以$(x-x^{\prime })|m_1{m}_2$，因此有$x\equiv x^{\prime }(mod{m}_1{m}_2)$，证毕。

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通过上面的论述就可以处理$a_{i}x=b_i(mod{m}_i),(a_i,m_i)=1=(m_i,m_j),(i�=j)$的情况，显然变换一下表示为$x\equiv d_i(mod{m}_i)$(模p的唯一解)，

• 以三个式子为例：
  • $x\equiv d_1(mod{m}_1)$
  • $x\equiv d_2(mod{m}_2)$
  • $x\equiv d_3(mod{m}_3)$

设公共解为$x=y_1{m}_1+d_1$，带入后为：

• $d_2-d_1\equiv y_1{m}_1(mod{m}_2)$
  • $f_1=y_1{m}_1(mod{m}_2),f_1=d_2-d_1$，处理得到$y_1\equiv g_1(mod{m}_2)$
• $d_3-d_1\equiv y_1{m}_1(mod{m}_3)$
  • $f_2=y_1{m}_1(mod{m}_3),f_2=d_3-d_1$，处理得到$y_1\equiv g_2(mod{m}_3)$

这样就绕回了两个式子的形式，最终会得到$y_1=y_2{m}_2+g_1,x=y_1{m}_1+d_1=y_2{m}_2{m}_1+g_1{m}_1+d_1$形式的公共解，再由类似的$x-x^{\prime }\equiv 0(mod{m}_i)$也可以得到$x\equiv x^{\prime }(mod{m}_1{m}_2...m_n)$。

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• 费马定理： $a^p\equiv a(modp)$，a为整数，p为素数。

证明： 使用数学归纳法，$P(n)$为$n^p\equiv n(modp)$，显然P(1),P(0)是成立的，现在说明P(n)成立时P(n+1)也成立，对于P(n)有$n^p\equiv n(modp)$，而P(n+1)中的$(n+1{)}^p$中除了第一项与最后一项外，其余的展开式中都含有p，所以有$(n+1{)}^p\equiv n^p+1$，由上面的式子得到$(n+1{)}^p\equiv n+1$，证毕。

环Zn

$Z_n$中的n是模n，对应的环是模n上的环，相应的可以定义类似的相等关系：$a\equiv b(modn)$，即同余关系为模上的相等。

• 在加法与乘法之下，对任意固定的模$n\ge 2,[0,n-1]$上的整数构成一个交换环$Z_n$。
• 加法与乘法定义为模n的加法，模n的乘法(在加与乘运算后进行对模n的取余)，以保证封闭性。
• 0与1分别为加法与乘法运算的幺元。
• 每个元素k关于加法的逆元为n-k。
• 模n的加法与模n的乘法也满足分配律，结合律，交换律(与加法和乘法类似，只是最后多一步取余运算)。

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环$Z_n$不一定满足消去律，非零因子之积非零，即若$ab\equiv 0$，则$a\equiv 0$或者$b\equiv 0$，对于$Z_4$中$2\ast 2\equiv 0$，显然2不为零因子。如果其成立，那么就有$n|ab$，则$n|a$或者$n|b$；n为素数时显然满足(定理)，但是当n不为素数时，就不一定满足条件(n=ab,n|a,n|b就不成立)。

• 模n整数环$Z_n$是整环，当且仅当n为素数。

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同余类描述的是在同一模n的前提下进行取余运算，最终得到相同余数的一类整数，即确定a后$a\equiv b(modm)$中所有b构成对模n产生余数a的同余类。比如：(模5的同余类)

• $0_5=\{...,-5,0,5,10,...\}$
• $1_5=\{...,-4,1,6,11,...\}$
• $2_5=\{...,-3,2,7,12,...\}$
• $3_5=\{...,-2,3,8,13,...\}$
• $4_5=\{...,-1,4,9,14,...\}$

每个整数只属于一个同余类，在同一同余类中的整数具有同余关系，模n对应有从0到n-1共n个同余类。
以这些同余类为元素就可以构成与$Zn$一致的环(代数)，同余类之间的运算$r+s\equiv t(modm)$可以使用同余类中的元素进行表示，比如$a\in r_m,b\in s_m$对应则有$a+b\in t_m,a+b\equiv r+s\equiv t(modm)$。
更进一步可以得到同余类之间：

• $(a+b{)}_n=a_n+b_n$
• $(ab{)}_n=a_n{b}_n$

集合、函数与关系

集合

集合是一些数学对象的任意集体，使用$\in$与$\notin$来描述对象与集合之间的从属关系。集合是由其元素来决定的，如果两个集合具有相同的元素，则其集合对应相等，即$A=B$，$x\in A$当且仅当$x\in B$，这相等关系同样也满足自反律，传递律和对称律。

集合的子集是集合S中的每个元素都在另一集合A中，则S为A的子集，即$S\subset A$，子集的关系同样满足传递律，集合的相等关系可以描述为两个集合互为子集；此外使用空集来描述没有元素的集合，表示为$\varnothing$，其为任意集合的子集。

通过不同的性质可以划分出不同的子集，表示的形式为：
$S=\{x|x\in A,P(x)\}$，$P(x)$表示为一个命题，说明x满足的性质与条件。

函数

函数是实现集合之间的映射关系，比如集合A通过函数$\varphi$，对A中的任意元素a实现$\varphi (a)=b,b\in B$，实现A到B集合上的映射，前一个集合为函数的定义域，后一个集合为函数的值域，对应的两个集合也可能是同一个集合。
函数也称为映射，变换或对应；根据映射情况的不同分为三类：

• 单射： 每个定义域中的元素都可以唯一映射到一个值域中的元素，定义域中任意不同元素映射出的值都是不同的。
• 满射： 值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应(但不是一一对应，可以是多个定义域元素映射到同一个值域中元素，即多一对应)。
• 双射： 同时满足单射与双射条件，值域中的每个元素都有定义域中的元素一一对应，定义域中的元素都可以唯一映射到值域中的元素，并且任意不同元素映射出的值不同。

二元运算： 在数对上进行的运算，可以是定义在一个集合上的二元运算，比如元素a，b都在集合S上，运算$c=a\ast b$可以唯一的确定第三个元素，这里的唯一是指：$a=a^{\prime },b=b^{\prime }$，则$a\ast b=a^{\prime }\ast b^{\prime }$
笛卡儿积： 二元运算中的数对可以笛卡尔积进行表示，其由有序元素对(a,b)作为元素组成，其中a来自一个集合S，b来自一个集合T，笛卡儿积作为运算是集合之间的二元运算，记为$S\times T$，集合自身也可以进行笛卡儿积运算，记为$S^2$。
二元运算可以理解为笛卡尔积到一个集合的映射。

关系

这里主要讨论的是二元关系，即两个元素之间的相互关系，使用抽象的描述符号$R$来描述任意的关系，对于两个元素a，b之间其可能的情况要么为a与b有关系，要么为a与b无关。
对于集合中的某一关系，主要从三个方面进行考虑：

• 自反律： $aRa$，对于集合中任意元素自身也满足。
• 对称律： 对于集合中的任意两个元素a和b，由$aRb$可以推出$bRa$。
• 传递律： 集合中的任意三个元素a，b和c，由$aRb,bRc$，可以推出$aRc$。

如果某一关系同时满足上面三个定理，则该关系属于等价关系。

同构与自同构

交换环的同构： 两个交换环$R,R^{\prime }$中的元素存在一一对应的关系，且对任意的$a,b\in R,a^{\prime },b^{\prime }\in R^{\prime }$，$a,a^{\prime }$对应，$b,b^{\prime }$对应(对应的"’"相当于一个函数映射(双射))，有$(a+b{)}^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime },(ab{)}^{\prime }=a^{\prime }{b}^{\prime }$，则$R,R^{\prime }$是同构的。

• 由加法可以推出其减法的性质
  由于$a-b$为方程$a=b+x$的解，所以有$a=b+(a-b)$，而由加法$a^{\prime }=b^{\prime }+(a-b{)}^{\prime }$，$(a-b{)}^{\prime }$为$a^{\prime }=b^{\prime }+x$的解，于是有$(a-b{)}^{\prime }=a^{\prime }-b^{\prime }$
• 同构后的零元与幺元是不变的(对应的运算并未改变)，单位元素也没有改变。
  $0^{\prime }=0,1^{\prime }=1,(-a{)}^{\prime }=-(a^{\prime })$

自同构： 对于集合上的闭合运算，存在一个在集合中的双射，对于集合中的任意元素a，都有唯一的元素b与之一一对应，且满足集合中的任意元素a，b有$(a+b{)}^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime },(ab{)}^{\prime }=a^{\prime }{b}^{\prime }$。

自同构类似于对于对象自身的一种对称镜像，其将对象映射到其自身，并且保留其全部结构。

抽象代数研究的是代数系统在同构之下仍保持不变的性质。