zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 魔方矩阵(幻方、九宫图)

    魔方矩阵(幻方、九宫图)

    今天在学matlab基础知识的时候,看到magic(N)这个函数,觉得好奇,就查了下资料,让我弄明白了魔方矩阵是如何就算的,记录下来,当作笔记了。。。

    定义:

    将自然数1到N^2填充N行N列的方阵,使方阵中每行、每列及两条主对角线上的N个数的和都等于N*(N^2+1)/2,这样的方阵称为N阶魔方矩阵(幻方)。

    趣味例子:

    在《射雕英雄传》中郭、黄二人被裘千仞追到黑龙潭,躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题:数字1~9填到三行三列的表格中,要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年,被黄蓉一下子就答出来了。
    8 1 6
    3 5 7
    4 9 2

     这就是九宫图的例子,属于魔方矩阵的特例。大家不要觉得黄蓉很聪明,看完下面的介绍,你也能很快算出这个答案。

     

    对于魔方矩阵的构造分为三种情况:N为奇数、N为4的倍数、N为其他数(偶数,4N+2的形式),下面就由我来一一介绍:

    1.N为奇数

    (1)将1放在第一行中间一列。

    (2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放:

     按右上45°方向行走,也就是说下一个数的行数比前一个数的行数减1,列数加1

    <1>.如果行范围超出矩阵范围,则行数变为n-1行,列不变。
    <2>.如果列范围超出矩阵范围,则列数变为0列,行不变。
    <3>.如果按上面规则确定的位置上已有数,或上一个数是第0行第n-1列时,则把下一个数放在上一个数的下面。
    (3)按照上述规则(1)(2)将N^2 个数都放入矩阵中,得到的矩阵即为N阶魔方矩阵。

    例如:5阶魔方矩阵   

    17 24 1 8 15
    23 5 7 14 16
    4 6 13 20 22
    10 12 19 21 3
    11 18 25 2 9

    2.N为4的倍数

     采用对称元素交换法:

    (1)把数1到n×n按从上至下,从左到右顺序填入矩阵。 
    (2)将方阵划分为4×4子方阵,每个子方阵中画出子主对角线、子副对角线,然后按照下面步骤操作:
    <1>.主对角线上的元素关于原点对称交换。
    <2>.副对角线上的元素不动。
    <3>.子对角线(子主对角线、子副对角线)关于副对角线对称交换。
    <4>.各子方阵中其余元素关于主对角线对称交换。
    (3)按照上述规则(1)(2)操作元素,得到的矩阵即为N阶魔方矩阵。
     
     最后得到的8阶魔方矩阵为:
    64 2 3 61 60 6 7 57
    9 55 54 12 13 51 50 16
    17 47 46 20 21 43 42 24
    40 26 27 37 36 30 31 33
    32 34 35 29 28 38 39 25
    41 23 22 44 45 19 18 48
    49 15 14 52 53 11 10 56
    8 58 59 5 4 62 63 1

      3.N为其他数(偶数,4N+2的形式)

    (1)把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。
    (2)按照第1节中奇数阶魔方矩阵填数的方法给分解的4个子方阵赋值,四个子方阵赋值规则为:
    上左子阵最小(i),下右子阵次小(i+v),下左子阵最大(i+3v),上右子阵次大(i+2v),即4个子方阵对应元素相差v,其中v=n*n/4。
    四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③ ④ ②。
    (3)按照(2)中描述赋值之后,作相应的元素交换:
    <1>a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做交换(j<t-1或j>n-t+1,矩阵行列编号从0开始)。
    <2>a(t-1,0)与a(t+u-1,0);a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换。
    其中u=n/2,t=(n+2)/4。
    (4)到此完成。
     
    例子:6阶魔方矩阵:
    35 1 6 26 19 24
    3 32 7 21 23 25
    31 9 2 22 27 20
    8 28 33 17 10 15
    30 5 34 12 14 16
    4 36 29 13 18 11

     未完待续。。

  • 相关阅读:
    BZOJ3252攻略——长链剖分+贪心
    BZOJ3522[Poi2014]Hotel——树形DP
    BZOJ4012[HNOI2015]开店——树链剖分+可持久化线段树/动态点分治+vector
    BZOJ3626[LNOI2014]LCA——树链剖分+线段树
    BZOJ2157旅游——树链剖分+线段树
    BZOJ3531[Sdoi2014]旅行——树链剖分+线段树
    BZOJ2243[SDOI2011]染色——树链剖分+线段树
    zookeeper(1)初识zookeeper
    任督二脉
    RPC框架之RMI
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yaochc/p/3404179.html
Copyright © 2011-2022 走看看