第一章 行列式
1.1 二阶行列式
我们在中学里曾经学过如何解二元一次方程组和三元一次方程组. 在许多实际问题中,我们还会遇到未知数更多的一次方程组，通常称之为线性方程组. 一般来说，具有下列形状的方程组我们称为(n)元线性方程组的标准式:
[egin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = b_1, \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = b_2, \
vdots \
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + cdots + a_{mn}x_n = b_m ag{1.1.1}
end{cases}]
其中(a_{ij},b_j(i=1,2,cdots,m;j= 1,2,cdots,n))都是常数, (x_i(i=1,2,cdots,n))是未知数,方程组中所有未知数都是一次的. 注意在一般的线性方程组中, (m)和(n)可以不相等,即方程组中未知数个数和方程式个数可以不等, 凡是经过有限次移项、合并同类项可以变为((1.1.1)) 式形状的方程组都称为线性方程组.求解线性方程组是线性代数的一个重要任务,我们在这一章中主要讨论当 (m= n),即方程式个数等于未知数个数时如何来解上述线性方程组.
我们首先回忆一下中学里学过的解二元一次方程组的方法，先看一个简单的例子.
例1.1.1 求解二元一次方程组:
[egin{cases}2x -y = 5,\
3x + 2y= 11 ag{1.1.2}
end{cases}]
解: 用代入消去法, 在第一个方程式中解出(y)用(x)表示的式子:
[y=2x- 5.
]
代入第二个方程式中得到
[3x + 2(2x- 5)= 11.
]
1.3 (n)阶行列式
我们称下面用两条竖线围起来的由(n)行(n)列元素组成的式子为一个(n)阶行列式:
[|A|=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} ag{1.3.1}
end{vmatrix}]
它由(n)行(n)列共(n^2)个元素组成,第(i)行上元素全体称为行列式(|A|)的第(i)行,第(j)列上元素全体称为行列式(|A|)的第(j)列. 第(i)行第(j)列交点上的元素(a_{ij})称为行列式(|A|)的第((i,j))元素. 元素(a_{11}, a_{22} , cdots , a_{nn})称为(|A|)的主对角线.
定义 1.3.1 定义元素(a_{ij})的余子式(M_{ij})为由行列式(|A|)中划去第(i)行第(j)列后剩下的(n-1)行与(n-1)列元素组成的行列式:
[M_{ij}=egin{vmatrix}
a_{11} & cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & cdots & a_{1n} \
vdots & & vdots & vdots & & vdots \
a_{i-1,1} & cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & cdots & a_{i-1,n} \
a_{i+1,1} & cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & cdots & a_{i+1,n} \
vdots & & vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}]
定义 1.3.2 当(n=1)时,((1.3.1))式的值定义为(|A|=a_{11}). 现假定对(n-1)阶行列式已经定义了它们的值, 则对任意的(i,j),(M_{ij})的值已经定义, 定义(n)阶行列式(|A|)的值为
[|A|=a_{11}M_{11}-a_{21}M_{21}+ cdots + (-1)^{n+1}a_{n1}M_{n1}. ag{1.3.2}
]
定义 1.3.3 在行列式(|A|)中,(a_{ij})的代数余子式定义为
[A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
]
其中(M_{ij})是(a_{ij})的余子式.
用代数余子式, ((1.3.2))式可以写为如下形状:
[|A|=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+ cdots + a_{n1}A_{n1}. ag{1.3.3}
]
性质 1 若(|A|)是一个(n)阶行列式,且
[|A|=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
0 & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & & vdots \
0 & 0 & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}, 或|A|=egin{vmatrix}
a_{11} & 0 & cdots & 0 \
a_{21} & a_{22} & cdots & 0 \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}]
[, 则|A| = a_{11}a_{22}cdots a_{nn}
]
性质 2 若(n)阶行列式(|A|)的某一行或某一列的元素全为0,则(|A|=0).
[|A|=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
0 & 0 & cdots & 0 \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix} =
egin{vmatrix}
a_{11} & cdots & 0 & cdots & a_{1n} \
a_{21} & cdots & 0 & cdots & a_{2n} \
vdots & & vdots & & vdots \
a_{n1} & cdots & 0 & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}= 0]
性质 3 若(n)阶行列式(|A|)的某一行或某一列的元素乘以一个常数(c),则得到的行列式(|B|=c|A|).
[|B|=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
ca_{i1} & ca_{i2} & cdots & ca_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix} =
egin{vmatrix}
a_{11} & cdots & ca_{1j} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & cdots & ca_{2j} & cdots & a_{2n} \
vdots & & vdots & & vdots \
a_{n1} & cdots & ca_{nj} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}= c|A|]
性质 4 对换行列式(|A|)的任意不同的两行,则行列式的值改变符号(绝对值不变).
[|B|=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}=-|A|]
性质 5 若行列式(|A|)的两行成比例, 则(|A|=0). 特别, 若行列式的两行相等, 则行列式的值等于零.
[|A|=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
ca_{i1} & ca_{i2} & cdots & ca_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}=0]
性质 6 设(|A|,|B|,|C|)是(3)个(n)阶行列式, 它们的第((i,j))元素分别记为(a_{ij},b_{ij},c_{ij}). (|A|,|B|,|C|)的第(r)行元素适合条件:
[c_{rj} = a_{rj} + b_{rj} (j=1,2,cdots,n) ag{1.3.6}
]
而其他元素相同,即(c_{ij} = a_{ij} = b_{ij} (i eq r, j=1,2,cdots,n)), 则
[|C| = |A| + |B|
]
[egin{vmatrix}
c_{11} & c_{12} & cdots & c_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{r1} + b_{r1} &a_{r2} + b_{r2} & cdots & a_{rn} + b_{rn} \
vdots & vdots & & vdots \
c_{n1} & c_{n2} & cdots & c_{nn}
end{vmatrix}=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{r1} & a_{r2} & cdots & a_{rn} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}+egin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & cdots & b_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
b_{r1} & b_{r2} & cdots & b_{rn} \
vdots & vdots & & vdots \
b_{n1} & b_{n2} & cdots & b_{nn}
end{vmatrix}]
性质 7 将行列式的一行乘以某个常数(c)加到另一行上, 行列式的值不变, 即
[egin{vmatrix}
c_{11} & c_{12} & cdots & c_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} + cb_{j1} &a_{i2} + cb_{j2} & cdots & a_{in} + cb_{jn} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \
vdots & vdots & & vdots \
c_{n1} & c_{n2} & cdots & c_{nn}
end{vmatrix}=egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}]
列性质
性质 (5^{'}) 若行列式(|A|)的两列成比例, 则(|A|=0). 特别, 若行列式的两列相等, 则行列式的值等于零.
[|A|=egin{vmatrix}
a_{11} & cdots & a_{1i} & cdots & ca_{1i} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & cdots & a_{2i} & cdots & ca_{2i} & cdots & a_{2n} \
vdots & & vdots & & vdots & & vdots \
a_{n1} & cdots & a_{ni} & cdots & ca_{ni} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}=0]
性质 (6^{'}) 设(|A|,|B|,|C|)是(3)个(n)阶行列式, 它们的第((i,j))元素分别记为(a_{ij},b_{ij},c_{ij}). (|A|,|B|,|C|)的第(r)列元素适合条件:
[c_{ir} = a_{ir} + b_{ir} (i=1,2,cdots,n)
]
而其他元素相同,即(c_{ij} = a_{ij} = b_{ij} (j eq r, i=1,2,cdots,n)), 则
[|C| = |A| + |B|
]
[egin{vmatrix}
c_{11} & cdots & a_{1r}+b_{1r} & cdots & c_{1n} \
c_{21} & cdots & a_{2r}+b_{2r} & cdots & c_{2n} \
vdots & & vdots & & vdots \
c_{n1} & cdots & a_{nr}+b_{nr} & cdots & c_{nn}
end{vmatrix}=egin{vmatrix}
a_{11} & cdots & a_{1r} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & cdots & a_{2r} & cdots & a_{2n} \
vdots & & vdots & & vdots \
a_{n1} & cdots & a_{nr} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}+egin{vmatrix}
b_{11} & cdots & b_{1r} & cdots & b_{1n} \
b_{21} & cdots & b_{2r} & cdots & b_{2n} \
vdots & & vdots & & vdots \
b_{n1} & cdots & b_{nr} & cdots & b_{nn}
end{vmatrix}]