377. Combination Sum IV

问题描述：

Given an integer array with all positive numbers and no duplicates, find the number of possible combinations that add up to a positive integer target.

Example:

nums = [1, 2, 3]
target = 4

The possible combination ways are:
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)

Note that different sequences are counted as different combinations.

Therefore the output is 7.

Follow up:
What if negative numbers are allowed in the given array?
How does it change the problem?
What limitation we need to add to the question to allow negative numbers?

解题思路：

因为之前一直在做排列组合系列，所以这道题一拿到手，读完题，首先考虑的就是递归解法。

然后心里还在想，干嘛这么多重复的题ಠ_ಠ

事实又一次证明，我， 还是， 太， naive， 了！！！！！

虽然做的时候我感觉我会超时，但是真的超时了之后时满脸懵逼因为没有其他的好的思路。。

看了 http://www.cnblogs.com/grandyang/p/5705750.html 之后，思考了一段时间，才仿佛找到点感觉。

进入正题：

这道题用动态规划来解。

dp中存的是对于 i 来说，可能的排列，从1一直递增到target。

对于 i , 如果 i >= nums[j]  (nums[j]在这里代表的是nums中的数字) 

我们可以将nums中的数字排序，然后从小到大访问它们。

状态转移方程为  dp[i] += dp[i - nums[j]]

所以dp[0]要为1.

可以理解为，每次将nums[j]放在最左边然后能够得到的排序。

一开始我会想，不应该是乘吗？因为nums[j]在每个位置都有可能。

结果告诉我们并不是 ：）

这肯定是有原因的！

我们可以这个排列抽象成两个部分，（实际上到了最基本的情况是只有这个数字自己）。 然后这两部分进行全排列就是它的全排列。

就nums[j] < i 的情况来讨论， 这个时候 i-nums[j] 也小于 i

如果nums[j] < i-nums[j], 那么nums[j] 在 i - nums[j] 中肯定出现过。

我感觉我要把自己说晕了，举个例子吧～

nums = [1, 2, 3] 

这个时候dp[0] = 1

dp[1] = dp[1-1] = 1

dp[2] = dp[2-1]  --->{1,1}

　　　　+dp[2-2] --->{2}

　　　= 2

dp[3] = dp[3-1] --->{1, 1, 1}, {1, 2}

          +dp[3-2] --->{2,1}

          +dp[3-3]----->{3}

　　  = 4

在dp[3]中我们可以看到对于含有2的组合中，2确实在每个位置都出现过了。

代码：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        vector<int> dp(target+1);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= target; i++){
            for(int n : nums){
                if(i < n){
                    break;
                }
                dp[i] += dp[i - n]; 
            } 
        }
        return dp.back();
    }
};