python学习特辑——二进制和位运算篇

以前学习java的时候，二进制和位运算只停留在"懂"的程度，从来没有花时间去推导和总结，作为一个数学系的学生，一直想花点时间做推理证明

java和python关于二进制和位运算的规则差不多，这次就当是补偿

一、符号约定                                                                                                      

⌊p⌋：比p小的最大整数，称为向下取整

⌈p⌉：比 p大的最小整数，称为向上取整

xi：x在二进制下的第i位数  

二、二进制表示                                                                                                  

截取的  这位博主 的图，推导过程使用求和公式来计算，思路差不多

n这样理解：使得10ⁿ <= x 的最大的n值，b_i的取值是一个集合

 三、移位运算<< 和 >>                                                                                                            

1、x,⌊x/2⌋,2x在二进制之间的关系

2、推导结论

结论一：x << k = 2^kx

结论二:  x >> k = ⌊x/_2^k⌋ 

结论三：二进制的递推公式，这里理解下即可，python中用bin(n)函数可以直接打出n的二进制，如bin(123)打印为 0b1111011   

这点同java的

Integer.toBinaryString(n),结果也是以0b开头

四、按位运算                                                                                                           

位运算符只能适用于整数，总体运算规则为：

　　首先把整数转换为二进制表示形式，按最低位对齐，短的高位补0，然后进行位运算，最后把得到的二进制转换为十进制结果

以下四种：&，|，^，~，分别是与，或，异或，取反

具体的例子就不说了，记几个思路清奇的应用

1、判断奇偶数

def isodd(x):
 return True if (x & 1) else False

2、求下标x和y的中间值

比如二分查找中的mid = (low+high) // 2 = (low+high) >>1

3、异或运算交换a和b的值

a ^= b
b ^= a
a ^= b

 4、异或运算找出单身汉

在2N+1个自然数中，有N个数均出现2次，找出只出现1次的那个自然数

方案：所有数做异或计算，最终的结果就是要找的那个数