最近新型冠状病毒疫情越来越严重了，待在家中没法出去，学习一下经典传染病模型。
这里总结了五个模型，分别是SI模型，SIS模型，SIR模型，SIRS模型，SEIR模型。
这几种模型的特点先介绍一下。
首先定义SEIR：
S为易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；
E为暴露者 (Exposed)，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；
I为感病者 (Infective)，指染上传染病的人，可以传播给 S 类成员，将其变为 E 类或 I 类成员；
R为康复者 (Recovered)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 类成员可以重新变为 S 类。
一、SI模型
该模型只考虑易感者和感病者，感病者不断去感染易感者。
随着时间推移，该模型感染者越来越多直到所有人都感染。
其微分方程为：
其中beta为感染率。
二、SIS模型
该模型依然只考虑易感者和感病者，感病者不断去感染易感者，这里感病者会得到治疗恢复成易感者，不过恢复后依然可能得病。
随着时间推移，该模型感染者和易感者会达到动态平衡。
其微分方程为：
其中beta为感染率，gamma为治愈率。
三、SIR模型
该模型考虑易感者、感病者与康复者，其中感病者不断感染易感者，而感病者又不断接受治疗成为康复者，康复者因为得到抗体不会再成为易感者。
随着时间推移，该模型康复者越来越多，最终所有人都成为康复者。
其微分方程为：
其中beta为感染率，gamma为治愈率。
四、SIRS模型
该模型考虑易感者、感病者与康复者，其中感病者不断感染易感者，而感病者不断接受治疗成为康复者，康复者获得抗体能够抵抗一段时间，不过最终还是会成为易感者。
该模型和SIS模型很像，区别就是康复者能够抵抗一段时间，也就是有一定的复感率，而SIS模型的复感率为1。
随着时间推移，该模型同样会达到一个动态平衡。
其微分方程为：
其中beta为感染率，gamma为治愈率，alpha为复感率。
五、SEIR模型
该模型四种参与者全部考虑，其中感病者不断感染易感者，易感者得到病毒会成为潜伏者，潜伏者依然能够使易感者感染，潜伏者有一定概率自己痊愈，感染者接受治疗也能够痊愈，痊愈后不再能够感染该病。
随着时间推移，该模型最终也是所有人都会成为康复者。
其微分方程为：
其中beta为感染率，gamma1为潜伏期康复率，gamma2为患者康复率，alpha为潜伏期转阳率。
各模型matlab代码如下，其中ode45为4阶龙格库塔法解微分方程，具体实现见上一篇文章：
main.m：
1 clear all;
2 close all;
3 clc;
4
5 %%SI模型
6 [t,h] = ode45(@SI,[0 120],0.01); %0.01为初始感染人口占比
7 plot(t,h,'r');
8 hold on;
9 plot(t,1-h,'g');
10 legend('感染人口占比I','健康人口占比S');
11 title('SI模型')
12
13 %%SIS模型
14 figure;
15 [t,h] = ode45(@SIS,[0 120],0.01); %0.01为初始感染人口占比
16 plot(t,h,'r');
17 hold on;
18 plot(t,1-h,'g');
19 legend('感染人口占比I','健康人口占比S');
20 title('SIS模型')
21
22 %%SIR模型
23 figure;
24 [t,h] = ode45(@SIR,[0 300],[0.01 0.99]); %[初始感染人口占比 初始健康人口占比]
25 plot(t,h(:,1),'r',t,h(:,2),'b');
26 hold on;
27 plot(t,1-h(:,2),'g');
28 legend('感染人口占比I','健康人口占比S','治愈人口占比R');
29 title('SIR模型')
30
31 %%SIRS模型
32 figure;
33 [t,h] = ode45(@SIRS,[0 300],[0.01 0.99 0]); %[初始感染人口占比 初始健康人口占比 初始治愈人口占比]
34 plot(t,h(:,1),'r',t,h(:,2),'b');
35 hold on;
36 plot(t,h(:,3),'g');
37 legend('感染人口占比I','健康人口占比S','治愈人口占比R');
38 title('SIRS模型')
39
40 %%SEIR模型
41 figure;
42 [t,h] = ode45(@SEIR,[0 300],[0.01 0.98 0.01 0]); %[初始感染人口占比 初始健康人口占比 初始潜伏人口占比 初始治愈人口占比]
43 plot(t,h(:,1),'r');
44 hold on;
45 plot(t,h(:,2),'b');
46 plot(t,h(:,3),'m');
47 plot(t,h(:,4),'g');
48 legend('感染人口占比I','健康人口占比S','潜伏人口占比E','治愈人口占比R');
49 title('SEIR模型')
SI.m：
1 function dy=SI(t,x)
2 beta = 0.1; %感染率
3 dy=beta*x*(1-x);
SIS.m：
1 function dy=SIS(t,x)
2 beta = 0.1; %感染率
3 gamma= 0.02; %治愈率
4 dy=beta*x*(1-x)-gamma*x;
SIR.m：
1 function dy=SIR(t,x)
2 beta = 0.1; %感染率
3 gamma = 0.02; %治愈率
4 dy=[beta*x(1)*x(2)-gamma*x(1);
5 -beta*x(1)*x(2)];
SIRS.m：
1 function dy=SIRS(t,x)
2 beta = 0.1; %感染率
3 gamma = 0.02; %治愈率
4 alpha = 0.01; %治愈复感率
5 dy=[beta*x(1)*x(2)-gamma*x(1);
6 -beta*x(1)*x(2)+alpha*x(3)
7 gamma*x(1) - alpha*x(3)];
SEIR.m：
1 function dy=SEIR(t,x)
2 beta = 0.1; %感染率
3 gamma1 = 0.05; %潜伏期治愈率
4 gamma2 = 0.02; %患者治愈率
5 alpha = 0.5; %潜伏期转阳率
6 dy=[alpha*x(3) - gamma2*x(1);
7 -beta*x(1)*x(2);
8 beta*x(1)*x(2) - (alpha+gamma1)*x(3);
9 gamma1*x(3)+gamma2*x(1)];
模型结果如下：
SI模型：
SIS模型：
SIR模型：
SIRS模型：
SEIR模型：
