对了，200 blogs 祭。没想到是这么一篇揭露我大菜鸡水平的 blog。
主席树
一年前就学过了，到现在才开始系统学可持久化……都快要高一了才开始学这玩意，我真是 114514 流选手。
需要做的是，每次修改都不直接修改原来节点上的值，需要新建副本存下新值，使得可以任意访问任一历史版本。
这个就有这样一个思想：每次修改，不论是单点还是区间，由于复杂度被保证，只有对数级别的点被修改了。于是我们就把有修改的点给新建了，然后新建的所有点要连向不修改的原来节点，这些个节点在新旧版本中共用。脑补一下，单点的情况就是旁边多出来一条链，然后往里连。这样想要访问哪个版本，就从对应的根往下走即可。(烦死了说不清，会的都会)
需要注意的是，主席树区间修改不能用懒标记（因为往下推的时候可能会推到共用的儿子，就出锅了），只能标记永久化。
值得一题的是，主席树的空间是和动态开点一样分析的，是线对。如果按照原来的每个节点都额外存表示的区间的话，那可能会被卡，所以我做了一个伟大的决定：废除这个陋习！就递归往下走的时候顺便记录即可，还可以有效解决空节点没有存区间的问题。
模板：https://www.luogu.com.cn/record/47290779
可持久化数组
直接用主席树实现。
你可能要问，这数组既不需要区间修改，又不需要区间查询，拿主席树这种区间数据结构维护不是浪费了吗？再者，非叶子节点里面都不存信息，这不更离谱了吗？那我要告诉你，树形结构起着支撑与平衡的作用。甚至可能可以证明用主席树实现可持久化数组是最优的。
模板：https://www.luogu.com.cn/record/47291192
可持久化并查集
就维护可持久化数组就可以了。路径压缩的复杂度是均摊的，在可持久化中会失效（比如反复访问一个回答询问很慢的历史版本，就 GG 了）。所以只能用启发式合并 / 按秩合并实时保持平衡。
那么就需要维护父亲和子树大小两个数组，可以开两个主席树，当然也可以写到一起节省空间。