解题：CF960G Bandit Blues & FJOI 2016 建筑师

题面1 题面2

两个题推导是一样的，具体实现不一样，所以写一起了，以FJOI 2016 建筑师 的题面为标准

前后在组合意义下一样，现在只考虑前面，可以发现看到的这a个建筑将这一段划分成了a-1个区间，区间里的数随意填。

看起来可以用组合数算，但是还要考虑看到的建筑，所以我们把每个建筑和它后面这段区间合起来看。设区间的长度是len，这就是一个len+1个数的圆排列(等于len!，相当于固定一个开头后面随便排)

这样考虑前后就是将n-1个数划分为a+b-2个全排列，n-1是因为最高的那个在两边都没被算进去，是第一类斯特林数。同时a+b-2个圆排列之间还要选出来a-1个放前面，乘上组合数即可。现在关键是如何求第一类斯特林数。

FJOI那道题n*k不是很大，可以直接$O(nk)$递推，边界条件是$S[0][0]=1$，转移是$S[i][j]=S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*(i-1)$

CF那道题只有一次询问，但是n,k都很大，我们考虑第一类斯特林数在第一维固定下的生成函数：$G(x)=prodlimits_{i=0}^{n-1}(x+i)$，x是从$s[i-1][j-1]$来的，i-1是从$s[i-1][j]*(i-1)$来的。用分治NTT优化

Code1

//Simple NTT
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define vint vector<int>
using namespace std;
const int N=2000006,mod=998244353;
int fac[N],inv[N],rev[N];
int aa[N],bb[N],pw[30][2];
int a,b,n,l1,l2,G,Gi,Ni; vint stl;
int Qpow(int x,int k)
{
    if(k==1) return x;
    int tmp=Qpow(x,k/2);
    return k%2?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
}
int C(int a,int b)
{
    return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
void SPJ()
{
    if(!a||!b||n-1<a+b-2) printf("0"),exit(0);
    if(n==1) printf("1"),exit(0);
}
void Pre()
{
    fac[0]=inv[0]=1,G=3,Gi=Qpow(G,mod-2);
    for(int i=1;i<=24;i++)
    {
        pw[i][0]=Qpow(G,(mod-1)/(1<<i));
        pw[i][1]=Qpow(Gi,(mod-1)/(1<<i));
    }
    for(int i=1;i<=a+b;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[a+b]=Qpow(fac[a+b],mod-2);
    for(int i=a+b-1;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
void Prework(vint &a,vint &b)
{
    register int i; 
    l1=a.size()-1,l2=b.size()-1;
    l1+=l2,l2=1; while(l2<=l1) l2<<=1;
    a.resize(l2),b.resize(l2);
    for(i=0;i<=l2;i++) aa[i]=a[i];
    for(i=0;i<=l2;i++) bb[i]=b[i];
    for(i=1;i<l2;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+(i&1)*(l2>>1);
}
void Trans(int *arr,int len,int typ)
{
    register int i,j,k;
    for(i=0;i<len;i++)
        if(rev[i]>i) swap(arr[rev[i]],arr[i]);
    for(i=2;i<=len;i<<=1)
    {
        int lth=i>>1,ort=pw[(int)log2(i)][typ==-1];
        for(j=0;j<len;j+=i)
        {
            int ori=1,tmp;
            for(k=j;k<j+lth;k++,ori=1ll*ori*ort%mod)
            {
                tmp=1ll*ori*arr[k+lth]%mod;
                arr[k+lth]=(arr[k]-tmp+mod)%mod;
                arr[k]=(arr[k]+tmp)%mod;
            }
        }
    }
    if(typ==-1)
    {
        int Ni=Qpow(len,mod-2);
        for(i=0;i<=len;i++)
            arr[i]=1ll*arr[i]*Ni%mod;
    }
}
vint NTT(vint a,vint b)
{
    Prework(a,b);
    Trans(aa,l2,1),Trans(bb,l2,1);
    for(int i=0;i<l2;i++) aa[i]=1ll*aa[i]*bb[i]%mod;
    Trans(aa,l2,-1);
    vint ret; ret.clear();
    for(int i=0;i<l2;i++) ret.push_back(aa[i]);
    return ret;
}
vint CDQ(int l,int r)
{
    if(l==r) return {l,1};
    else
    {
        int mid=(l+r)/2;
        vint a1=CDQ(l,mid),a2=CDQ(mid+1,r);
        return NTT(a1,a2);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
    SPJ(),Pre(),stl=CDQ(0,n-2);
    printf("%d",1ll*C(a+b-2,a-1)*stl[a+b-2]%mod);
    return 0;
}

Code2

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=50006,M=405,mod=1e9+7;
int fac[N],inv[N],S[N][M];
int a,b,n,T,l1,l2,G,Gi,Ni; 
int Qpow(int x,int k)
{
    if(k==1) return x;
    int tmp=Qpow(x,k/2);
    return k%2?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
}
int C(int a,int b)
{
    return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
bool SPJ()
{
    if(!a||!b||n-1<a+b-2) 
        {puts("0"); return false;}
    if(n==1)     
        {puts("1"); return false;}
    return true;
}
void Pre()
{
    register int i,j;
    fac[0]=inv[0]=1,S[0][0]=1;
    for(i=1;i<=1000;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[1000]=Qpow(fac[1000],mod-2);
    for(i=999;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
    for(i=1;i<=50000;i++)
        for(j=1;j<=400;j++)
            S[i][j]=(S[i-1][j-1]+1ll*(i-1)*S[i-1][j]%mod)%mod;
}
int main()
{
    Pre();
    scanf("%d",&T);
    while(T--) 
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
        if(SPJ()) printf("%lld
",1ll*C(a+b-2,a-1)*S[n-1][a+b-2]%mod);
    }
    return 0;
}