算法竞赛入门经典 训练指南 之 图论（完全版持续更新）

由于题目太多了，所以在更新过程中可能会出错，欢迎大家一起交流^_^。。。

第一题 题目：uva 11624 Fire 
二维迷宫中，有一些着火点（可能不止一个），给出你的初始位置，人与着火点都是每秒钟向相邻的格子移动一格，问人能不能够在火势到达之前走到边界，如果能够，输出最短的时间

分析：对于着火点，可以预处理把所有的着火点都放进队列中，然后再用BFS处理出所有可燃烧的格子的最短到达时间。再用BFS来计算出人能够达到边界的最短间。。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int X = 1005;

int dirx[] = {-1,1,0,0};
int diry[] = {0,0,-1,1};

int n;
int m;
bool use[X][X];
int tt[X][X];
char map[X][X];

struct node{
	int x,y,step;
    node(int _x,int _y,int _step){
		x = _x;
		y = _y;
		step = _step;
	}
};

struct point{
	int x,y,step;
	point(){}
	point(int _x,int _y,int _step){
		x = _x;
		y = _y;
		step = _step;
	}
}q[X*X];

bool out(int x,int y){
    return x>=n||y>=m||x<0||y<0;
}

int bfs(int sx,int sy){
    memset(use,false,sizeof(use));
    int head = 0;
    int tail = 0;
    q[tail++] = point(sx,sy,0);

    while(head<tail){
        point pre = q[head++];
        int x = pre.x;
        int y = pre.y;

        if(x==0||y==0||x==n-1||y==m-1)
            return pre.step;

        pre.step ++;
        for(int i=0;i<4;i++){
            int dx = dirx[i]+x;
            int dy = diry[i]+y;
            if(out(dx,dy))
                continue;
            if(use[dx][dy]||tt[dx][dy]<=pre.step||map[dx][dy]=='#')
                continue;
            use[dx][dy] = true;
            q[tail++] = point(dx,dy,pre.step);
        }
    }
    return -1;
}

void init(){
    memset(use,false,sizeof(use));
    int head = 0;
    int tail = 0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            if(map[i][j]=='F')
                q[tail++] = point(i,j,0);
    while(head<tail){
        point pre = q[head++];
        int x = pre.x;
        int y = pre.y;
        tt[x][y] = min(tt[x][y],pre.step ++);

        for(int i=0;i<4;i++){
            int dx = dirx[i]+x;
            int dy = diry[i]+y;
            if(out(dx,dy))
                continue;
            if(use[dx][dy]||map[dx][dy]=='#')
                continue;
            use[dx][dy] = true;
            q[tail++] = point(dx,dy,pre.step);
        }
    }
}

void solve(){
    cin>>n;
    cin>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%s",map[i]);
    memset(tt,0x3f,sizeof(tt));
    int sx,sy;
    sx = sy = 0;

    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            if(map[i][j]=='J'){
                sx = i;
                sy = j;
            }

    init();

    int ok = bfs(sx,sy);
    if(ok==-1)
        puts("IMPOSSIBLE");
    else
        printf("%d\n",ok+1);
}

int main(){
    freopen("sum.in","r",stdin);
    int ncase;
    cin>>ncase;
    while( ncase-- != 0 )
        solve();
    return 0;
}

　　

第二题 题目：uva 10047 The Monocycle  
一辆独轮车等分分成了5个块，每个块分别有一种颜色，刚开始时独轮车的朝向为北，独轮车的底部为绿色，现在独轮车每秒可以先前移动一个格子，或者把方向移到向左或向右。现在问如何移动独轮车，使得独轮车到达终点且底部颜色为绿色的最短时间。（二维迷宫，若遇到障碍物不能向前移动）

分析：在原来的二维迷宫问题上增加二维，visit[x][y][direction][color]，表示格子[x,y]中朝向为direction并以颜色color走过了的就不再重复走。其他的跟二维迷宫基本一样~~

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>

using namespace std;

const int X = 26;
const int direction = 4;
const int color = 5;

bool use[X][X][direction][color];
int n,m;
char map[X][X];
int sx,sy,ex,ey;

int dirx[] = {-1,0,1,0};
int diry[] = {0,1,0,-1};

struct node{
    int x,y;
    int d,c;
    int step;
    node(){}
    node(int _x,int _y,int _d,int _c,int _step):x(_x),y(_y),d(_d),c(_c),step(_step){}
};

bool out(int x,int y){
    return x<0||y<0||x>=n||y>=m;
}

int Abs(int x){
    return max(x,-x);
}

void bfs(){
    memset(use,false,sizeof(use));
    queue<node> q;
    use[sx][sy][0][0] = true;
    q.push(node(sx,sy,0,0,0));
    while(q.size()){
        node pre = q.front();
        q.pop();
        int x = pre.x;
        int y = pre.y;
        int d = pre.d;
        int c = pre.c;
        if(x==ex&&y==ey&&pre.c==0){
            printf("minimum time = %d sec\n",pre.step);
            return;
        }
        pre.step ++;
        for(int i=0;i<4;i++){
            if(Abs(i-d)==2)
                continue;
            if(i==d){
                int dx = dirx[i]+x;
                int dy = diry[i]+y;
                int dc = (c+1)%5;
                int dd = i;
                if(out(dx,dy)||map[dx][dy]=='#'||use[dx][dy][dd][dc])
                    continue;
                use[dx][dy][dd][dc] = true;
                q.push(node(dx,dy,dd,dc,pre.step));
            }
            else{
                if(use[x][y][i][c])
                    continue;
                use[x][y][i][c] = true;
                q.push(node(x,y,i,c,pre.step));
            }
        }
    }

    puts("destination not reachable");
}

int main(){
    freopen("sum.in","r",stdin);
    int ncase = 0;
    while(cin>>n>>m,n||m){
        if(ncase)
            puts("");
        printf("Case #%d\n",++ncase);
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%s",map[i]);
            for(int j=0;j<m;j++){
                if(map[i][j]=='S'){
                    sx = i;
                    sy = j;
                }
                else if(map[i][j]=='T'){
                    ex = i;
                    ey = j;
                }
            }
        }
        bfs();
    }
    return 0;
}

　　

第三题 题目： uva 10054 The Necklace
珠子由两部分组成，每个部分都有颜色，若相同颜色的两个珠子可以串连在一起，现在问能不能把所有的珠子串连在一起。若能够，给出串联的方式

分析:求欧拉回路，把每种颜色看做图上的一个顶点，然后对于每个珠子构造一条无向边，先判断是否有奇数度的顶点，若有的话，欧拉回路不存在，否则DFS一次即可。另外注意图中可能存在多条相同的边（我没测过），所以每次DFS的时候把边删掉一条即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int X = 60;
const int n = 50;

int map[X][X];
int id[X];
int m;

void dfs(int x){
    for(int y=1;y<=n;y++){
        if(map[x][y]>0){
            map[x][y] --;
            map[y][x] --;
            dfs(y);
            cout<<y<<" "<<x<<endl;
        }
    }
}

int main(){
    freopen("sum.in","r",stdin);
    int ncase,x,y,cnt = 0;
    cin>>ncase;
    while(ncase--){
        if(cnt)
            puts("");
        printf("Case #%d\n",++cnt);
        memset(map,0,sizeof(map));
        memset(id,0,sizeof(id));
        scanf("%d",&m);
        while(m--){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            map[x][y] ++;
            map[y][x] ++;

            id[x] ++;
            id[y] ++;
        }
        bool ok = true;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(id[i]&1){
                ok = false;
                puts("some beads may be lost");
                break;
            }
        }
        if(!ok)
            continue;
        dfs(x);
    }
    return 0;
}

第七题 题目：icpc 4287 Proving Equivalences
a能够推出b，b能够推出c，现在问增加多少个关系，使得所有的关系相互等价

分析：不难想到构造出有向图，然后求出图中的强连通分量，缩点之后求max(id,od)。id表示所有入度为0的顶点个数，od表示出度为0的个数，但是得要注意的是当连通块只有一个的时候，答案应该是0（缩点里的所有元素相互等价）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn =  50005;
const int maxm =  100005;

int po[maxn],tol;
int stack[maxn],dfn[maxn],low[maxn],father[maxn],bcnt,depth,top;
bool instack[maxn];
int id[maxn],od[maxn];
int n,m;

struct node{
    int y,next;
}edge[maxm];

void dfs(int x){	//递归实现tarjan算法
    low[x] = dfn[x] = ++depth;
    instack[x] = true;
    stack[++top] = x;
    int y;
    for(int i=po[x];i;i=edge[i].next){
        y = edge[i].y;
        if(!dfn[y]){
            dfs(y);
            low[x] = min(low[x],low[y]);
        }
        else if(instack[y])
            low[x] = min(low[x],dfn[y]);
    }
    if(low[x]==dfn[x]){
        ++bcnt;
        do{
            y = stack[top--];
            instack[y] = false;
            father[y] = bcnt;
        }while(x!=y);
    }
}

void tarjan(){
    memset(instack,false,sizeof(instack));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    top = bcnt = depth = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            dfs(i);
    if(bcnt==1){
        puts("0");
        return;
    }

    memset(id,0,sizeof(id));
    memset(od,0,sizeof(od));
    for(int x=1;x<=n;x++)
        for(int j=po[x];j;j=edge[j].next){
            int y = edge[j].y;
            if(father[x]!=father[y]){
                od[father[x]] ++;
                id[father[y]] ++;
            }
        }
    int id_cnt = 0,od_cnt = 0;
    for(int i=1;i<=bcnt;i++){
        if(!id[i])
            id_cnt ++;
        if(!od[i])
            od_cnt ++;
    }
    cout<<max(id_cnt,od_cnt)<<endl;
}

void add(int x,int y){
    edge[++tol].y = y;
    edge[tol].next = po[x];
    po[x] = tol;
}

int main(){
    freopen("sum.in","r",stdin);
    int ncase;
    cin>>ncase;
    while(ncase--){
        memset(po,0,sizeof(po));
        tol = 0;
        int x,y;
        cin>>n>>m;
        while(m--){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add(x,y);
        }
        tarjan();
    }
    return 0;
}

　　

第八题 题目：uva 11324 The Largest Clique
从图中某点出发，求最远能够一次走过多少个节点

分析：
tarjan求gcc，然后构造出新图，新图是一个dag，对于dag上用dp求出最长路径即可。dp转移方程为dp[x] = size[x] + max(dp[y]); 缩点后有边x到y的边，记忆化搜索就行了，具体看实现代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;

const int maxn = 1005;
const int maxm = 50005;

#define debug puts("here");

int dfn[maxn],low[maxn],stack[maxn],father[maxn],bcnt,top,depth;
bool instack[maxn];
int po[maxn],tol,n,m;
int id[maxn];
int dp[maxn];
int sum[maxn];

vector<int> vec[maxn];

struct node{
    int y,next;
}edge[maxm];

void add(int x,int y){
    edge[++tol].y = y;
    edge[tol].next = po[x];
    po[x] = tol;
}

void dfs(int x){	//递归实现tarjan算法
    low[x] = dfn[x] = ++depth;
    instack[x] = true;
    stack[++top] = x;
    int y;
    for(int i=po[x];i;i=edge[i].next){
        y = edge[i].y;
        if(!dfn[y]){
            dfs(y);
            low[x] = min(low[x],low[y]);
        }
        else if(instack[y])
            low[x] = min(low[x],dfn[y]);
    }
    if(low[x]==dfn[x]){
        ++bcnt;
        do{
            y = stack[top--];
            instack[y] = false;
            father[y] = bcnt;
        }while(x!=y);
    }
}

void tarjan(){
    memset(instack,false,sizeof(instack));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    top = bcnt = depth = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            dfs(i);
}

int f(int x){	//记忆化方法求dag上的最长路径
    if(dp[x])
        return dp[x];
    int ans = 0;
    for(int i=0;i<(int)vec[x].size();i++){	//从x的所有边出发，求出最大的路径
        int y = vec[x][i];
        ans = max(ans,f(y));	//转移方程
    }
    dp[x] = ans+sum[x];
    return dp[x];
}

void dag(){
    memset(id,0,sizeof(id));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(dp,0,sizeof(dp));

    for(int i=1;i<=n;i++)
        vec[i].clear();

    for(int x=1;x<=n;x++){		//构造新图
        for(int j=po[x];j;j=edge[j].next){
            int y = edge[j].y;
            if(father[x]!=father[y]){
                vec[father[x]].push_back(father[y]);
                id[father[y]] ++;
            }
        }
        sum[father[x]] ++;	//统计每个缩点后的该节点所包含的所有原图的节点数目
    }

    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=bcnt;i++)
        if(!id[i])
            ans = max(f(i),ans);
    cout<<ans<<endl;
}

int main(){
    freopen("sum.in","r",stdin);
    int ncase;
    cin>>ncase;
    while(ncase--){
        cin>>n>>m;
        int x,y;
        memset(po,0,sizeof(po));
        tol = 0;
        while(m--){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add(x,y);
        }
        tarjan();
        dag();
    }
    return 0;
}

　　

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