二阶齐次线性微分方程的通解可以表示成两个线性无关解的线性组合

tex源代码如下:

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}

% ----------------------------------------------------------------------------------------
%    TITLE
% ----------------------------------------------------------------------------------------
egin{document}
	itle{	extbf{《基础偏微分方程》footnote{David Bleecker,George
      Csordas著,李俊杰译.高等教育出版社,丘成桐主编数学翻译丛
      书.}习题1.1.20:证明二阶齐次线性方程的通解可以表示成任意两个线性无
    关解的线性组合}} setlengthepigraphwidth{0.7linewidth}
epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法
  于中,不免为下.}{唐太宗《帝范》} author{small{叶卢庆}\{small{杭州
      师范大学理学院,学号:1002011005}}\{small{Email:h5411167@gmail.com}}} % Institution

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% ABSTRACT AND KEYWORDS
% ----------------------------------------------------------------------------------------

% 
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% egin{abstract}

% end{abstract}

% hspace*{3,6mm}	extit{关键词:} % Keywords

% vspace{30pt} % Some vertical space between the abstract and first section

% ----------------------------------------------------------------------------------------
% ESSAY BODY
% ----------------------------------------------------------------------------------------
通过完成下列步骤,证明二阶齐次线性方程 $ay''+by'+cy=0$ [其中 $a,b,c$为
常数且 $a
eq 0$.]的通解具有 $phi(x,c_1,c_2)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ 的
形式,其中$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是任意两个线性无关的解.这里假设所考虑的
函数处处具连续的二阶导数(这是为了让隐函数定理发挥作用).\

根据通解的定义,我们只用证明 $c_1$ 和 $c_2$ 是函数独立的,也就是证明
$forall xin I$,
$$
egin{vmatrix}
  frac{paphi}{pa c_1}(x)&frac{pa phi}{pa c_2}(x)\
frac{paphi'}{pa c_1}(x)&frac{pa phi'}{pa c_2}(x)
end{vmatrix}=egin{vmatrix}
  y_1(x)&y_2(x)\
y_1'(x)&y_2'(x)
end{vmatrix}
eq 0.
$$
结合如下两个引理: (b)和 (a),我们可以直接得到上述结论.注意,引理 (a) 的
意思是,两个函数线性无关,表明存在 $x_0in I$,使得 Wronskian 不为0.这一
点结合引理 (b),得到 Wronskian 在整个 $I$ 上不为0.
egin{exercise}[1.1.20,(b)]
  	extbf{Abel} 公式:证明如 $y(x),z(x)$ 是 $ay''+by'+cy=0$ 的任意
  解,则 $W[y,z](x)$ 是$aW'(x)+bW(x)=0$ 的解.于是存在依赖于 $y$ 和 $z$
  的常数 $C$,有 $W[y,z](x)=Cexp(-bx/a)$.
end{exercise}
egin{proof}[探索与证明]
  我们有
  egin{equation}
    label{eq:3}
    ay''+by'+cy=0,
  end{equation}
  egin{equation}
    label{eq:4}
    az''+bz'+cz=0.
  end{equation}
  把 $a,b,c$ 看作未知数,eqref{eq:3} 和 eqref{eq:4} 是两个方程,显然不
  能解出 $a,b,c$.但是要寻找它们之间的关系应该还是可以做到的.将方
  程eqref{eq:3} 的两边同时乘以 $z$,得到
  egin{equation}
    label{eq:5}
    azy''+bzy'=-czy.
  end{equation}
  将方程 eqref{eq:4} 的两边同时乘以 $y$,得到
  egin{equation}
    label{eq:6}
    ayz''+byz'=-czy.
  end{equation}
  方程 eqref{eq:5} 和方程 eqref{eq:6} 相减,可得
  egin{equation}
    label{eq:7}
    azy''-ayz''+bzy'-byz'=0.
  end{equation}
  eqref{eq:7} 即
  egin{equation}
    label{eq:8}
    a egin{vmatrix}
      z&y\
      z''&y''\
    end{vmatrix}+b egin{vmatrix}
      z&y\
      z'&y'\
    end{vmatrix}=0.
  end{equation}
  于是 $aW'(x)+bW(x)=0$ 成立.
end{proof}
egin{exercise}[1.1.20,(a)]
  证明两函数 $f(x),g(x)$($frac{f(x)}{g(x)}$或 $frac{g(x)}{f(x)}$ 是可
  微的)在某个区间 $I$ 上线性相关的充要条件是它们的 Wronskian
$$
W[f,g](x)=egin{vmatrix}
  f(x)&g(x)\
  f'(x)&g'(x)
end{vmatrix}
$$
对所有的 $xin I$ 为零.
end{exercise}
egin{proof}[证明]
  当 $f(x),g(x)$ 在 $I$ 上线性相关,说明存在不全为0的实
  数 $lambda_1,lambda_2$,使得
  egin{equation}
    label{eq:1}
    lambda_1f(x)+lambda_2g(x)=0.
  end{equation}
  因此
  egin{equation}
    label{eq:2}
    lambda_1f'(x)+lambda_2g'(x)=0.
  end{equation}
  把上面的两个方程联立,把 $lambda_1,lambda_2$ 看作未知量.由于
$$
egin{vmatrix}
  f(x)&0\
  f'(x)&0\
end{vmatrix}
$$
和
$$
egin{vmatrix}
  0&g(x)\
  0&g'(x)\
end{vmatrix}
$$
都为0,因此根据 Cramer 法则,为了使得 $lambda_1,lambda_2$ 存在且不全
为0,必须使
$$
egin{vmatrix}
  f(x)&g(x)\
  f'(x)&g'(x)
end{vmatrix}=0.
$$\

反之,如果
$$
egin{vmatrix}
  f(x)&g(x)\
  f'(x)&g'(x)
end{vmatrix}=0,
$$
则根
据 Cramer 法则,eqref{eq:1} 和 eqref{eq:2} 中的$lambda_1,lambda_2$
也存在不全为0的解.
end{proof}


% ----------------------------------------------------------------------------------------
% BIBLIOGRAPHY
% ----------------------------------------------------------------------------------------

ibliographystyle{unsrt}

ibliography{sample}

% ----------------------------------------------------------------------------------------
end{document}

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更新1:个人认为题目中的二阶导函数连续这个条件是不必的.