条件极值(1):隐函数极值问题

本文主要参考了高木贞治的《高等微积分》.为了内容的连续性,我们把第四篇小结里推广的隐函数存在定理重叙如下:

Theorem1(隐函数存在定理的推广)设$f:mathbf{R}^{n+m} ightarrowmathbf{R}^m$为连续可微函数,$mathbf{R}^{n+m}$中的元素写成$(x_1,cdots,x_{n+m})$的形式.当$f(a_1,cdots,a_{n+m})=mathbf{0}$时,我们把$f$在点$(a_1,cdots,a_{n+m})$处的雅可比矩阵的第$i_1,cdots,i_m$列挑选出来$(i_1<i_2<cdots<i_m)$,按原来的顺序重新排成一个矩阵,这样就形成了$f$在点$(a_1,cdots,a_{n+m})$处的雅可比矩阵的一个$m imes m$的子方阵,如果该子方阵可逆,那么我们可以在点$(a_1,cdots,a_{n+m})$附近定义一个$(x_{i_1},x_{i_2},cdots,x_{i_m})$关于点$(x_{j_1},x_{j_2}cdots,x_{j_n})$的函数$g$,其中$j_1<j_2<cdots<j_n$,且${j_1,cdots,j_n}igcup{i_1,cdots,i_m}={1,cdots,m+n}$,使得只要$f(x_1,cdots,x_{m+n})=0$,我们就有$g(x_{j_1},cdots,x_{j_n})=(x_{i_1},cdots,x_{i_m})$.严格地说,就是存在$(a_{j_1},cdots,a_{j_n})$和$(a_{i_1},cdots,a_{i_m})$的邻域$U$和$V$,使得$g$是从$U$到$V$的函数,并且$g$的函数图像满足egin{align*}&{((x_{j_1},cdots,x_{j_n}),g(x_{j_1},cdots,x_{j_n}))}={((x_{j_1},cdots,x_{j_n}),(x_{i_1},cdots,x_{j_m}))|f(x_1,cdots,x_{n+m})=0}cap(U imes V).end{align*}

Remark1注意,当我们建立$(x_{i_1},x_{i_2},cdots,x_{i_m})$关于$(x_{j_1},x_{j_{2}}cdots,x_{j_n})$的函数$g$时,变量$x_{j_1},x_{j_2},cdots,x_{j_n}$已经处于函数无关的状态.

设$D$是$mathbf{R}^n$的开子集,$f:D ightarrowmathbf{R}$和$g:D ightarrowmathbf{R}^m$都是连续可微函数.且对于$D$中的每一点$mathbf{x}$,都存在相应的$1leq i_1<cdots<i_mleq m$,使得当我们把$g$在$mathbf{x}$处的雅可比矩阵中的第$i_1,cdots,i_m$列挑选出来,按原来的顺序重新排成一个矩阵的时候,可以形成$g$在点$mathbf{x}$处的雅可比矩阵的一个$m imes m$的可逆子方阵.

我们有约束条件$g(mathbf{x})=mathbf{0}$,其中$xinmathbf{R}^n$,这样的约束条件确定了一个区域$D'$.在$D'$内的所有点都满足该约束条件,而在$Dackslash D'$中的所有点都不满足该约束条件.我们试图找出 $f|D'$ 在区域$D'$上的极值,其中$f|D'$表示函数$f$在区域$D'$上的限制.设$mathbf{x}=(p_1,cdots,p_n)$.且设$mathbf{x_0}$是$f|D'$在$D'$上的极值点.由于$g$在$mathbf{x_0}$处满足定理1的条件,因此我们可以在点$mathbf{x_{0}}$附近定义一个$(p_{i_1},p_{i_2},cdots,p_{i_m})$关于点$(p_{j_1},p_{j_2},cdots,p_{j_{n-m}})$的函数$h$,其中$j_1<j_2<cdots<j_{n-m}$,且

${displaystyle {j_1,cdots,j_{n-m}}igcup{i_1,cdots,i_m}={1,cdots,n},}$

使得只要$g(mathbf{x_{0}})=0$,我们就有$h(p_{j_1},cdots,p_{j_{n-m}})=(p_{i_1},cdots,p_{i_m})$.为了简化论述,不失一般性地,我们不妨设$j_1<cdots<j_{n-m}<i_1<cdots<i_m$.于是我们就可以把上述的在约束条件$g(mathbf{x})=mathbf{0}$下求$f$的极值问题转化为求

${displaystyle z=f(p_{j_1},cdots,p_{j_{n-m}},h(p_{j_1},cdots,p_{j_{n-m}}))\\ (1)}$

的极值问题,根据注1,我们知道$p_{j_1},cdots,p_{j_{n-m}}$函数无关.为了求1的极值,我们有两种其实是完全一样的方案.但是,我愿意不劳辛辞地把它们通通写出来.我们先来介绍第一种.为了求1的极值,只需要令

${displaystyle frac{partial z}{partial p_{j_1}}=0,cdots,frac{partial z}{partial p_{j_{n-m}}}=0.\\ (2)}$

根据复合函数的求导法则,可得$forall rin{1,cdots,n-m}$,我们有egin{align*}frac{partial z}{partial p_{j_r}}&=egin{pmatrix}frac{partial f}{partial p_{j_1}}&cdots&frac{partial f}{partial p_{j_{n-m}}}&frac{partial f}{partial p_{i_1}}&cdots&frac{partial f}{partial p_{i_{m}}}end{pmatrix}egin{pmatrix}
0\
vdots\
1\
vdots\
0\
vdots\
0\
frac{partial p_{i_1}}{partial p_{j_1}}\
vdots\
frac{partial p_{i_m}}{partial p_{j_1}}\
end{pmatrix}(n-m-1mbox{个}0,1mbox{位于第}rmbox{行.})\&=frac{partial f}{partial p_{j_{r}}}+sum_{k=1}^{m}frac{partial f}{partial p_{i_k}}frac{partial p_{i_k}}{partial p_{j_{r}}}.
end{align*}

于是条件2化为如下:$forall rin{1,cdots,n-m}$,

${displaystyle frac{partial f}{partial p_{j_r}}+sum_{k=1}^{m}frac{partial f}{partial p_{i_k}}frac{partial p_{i_k}}{partial p_{j_{r}}}=0.\\ (3)}$

第二种方案只不过是对第一种方案的符号简化:为了求1的极值,我们先令$mathbf{t}=(p_{j_1},cdots,p_{j_{n-m}})$.则式1化为

${displaystyle z=f(mathbf{t},h(mathbf{t})).\\ (4)}$

为了求式1的极值,只用让

${displaystyle frac{partial z}{partial mathbf{t}}=0.\\ (5)}$

根据复合函数的求导法则,式5即

${displaystyle frac{partial f}{partial mathbf{t}}+frac{partial f}{partial h(mathbf{t})}frac{partial h(mathbf{t})}{partial mathbf{t}}=0.\\ (6)}$

式6和方程组3是一样的.于是与其看繁琐的方程组3,我们不如来看式5.事情做到这一步,其实还没完,因为$frac{partial h(mathbf{t})}{partial mathbf{t}}$是很难知道的,因为我们很难确定$h$.幸运的是,根据隐函数定理,我们能继续求出$frac{partial h(mathbf{t})}{partial mathbf{t}}$.下面具体地来做.我们知道,

${displaystyle g(mathbf{x})=mathbf{0},}$

即

${displaystyle g(mathbf{t},h(mathbf{t}))=mathbf{0},}$

因此对两边对$mathbf{t}$求导,我们有

${displaystyle frac{partial g}{partial mathbf{t}}+frac{partial g}{partial h(mathbf{t})}frac{partial h(mathbf{t})}{partial mathbf{t}}=0.\\ (7)}$

把式7代入式6,我们得到

${displaystyle frac{partial f}{partial mathbf{t}}=frac{partial f}{partial h(mathbf{t})}(frac{partial g}{partial h(mathbf{t})})^{-1}frac{partial g}{partial mathbf{t}}.\\ (8)}$