陶哲轩实分析 习题 12.5.12

设 $(X,d_{disc})$ 是具有离散度量 $d_{disc}$ 的度量空间.

(a)证明 $X$ 是完备的.

\begin{proof} 即证明 $X$ 的每个柯西列都收敛到 $X$ 中的一个元素.而事实上,$X$ 中的任意一个柯西列迟早都是同一个元素(为什么?),当然这个柯西列最终会收敛到这个元素. \end{proof}

(b)何时 $X$ 是紧致的,何时 $X$ 不是紧致的?证明你的结论.

\begin{proof} 当 $X$ 是有限集的时候,$X$ 是紧致的.当 $X$ 是无限集的时候,$X$ 不是紧致的.证明很容易. \end{proof}  

注1:应该将该题和陶哲轩实分析习题12.5.8 作对比,会发现两者都在传达一个意思.