(a)如果在$[a,b]$上$f_1\in\mathcal{R}(\alpha)$且$f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$,那么对于任意的常数$c_1,c_2$,$$c_1f_1+c_2f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$$并且$$\int_a^b(c_1f_1+c_2f_2)d\alpha=c_1\int_a^bf_1d\alpha+c_2\int_a^bf_2d\alpha$$
证明：先对黎曼积分证明此定理，然后推广到Riemann-Stieltjes积分是显然的.不过我仍认为写一写是有好处的.
(1)我先证明假若在$[a,b]$上$f\in\mathcal{R}(\alpha)$,则$cf\in\mathcal{R}(\alpha)$.这是因为根据数学分析原理_定理6.6，$f\in\mathcal{R}(\alpha)$表明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在$[a,b]$的一个分划$P$,使得$U(f,P,\alpha)-L(f,P,\alpha)\leq \varepsilon$.因此$U(cf,P,\alpha)-L(cf,P,\alpha)\leq c\varepsilon$(为什么?).可见，对于任意给定的正实数$\delta$,我们只要令$\varepsilon<\frac{\delta}{c}$,就能让$U(cf,P,\alpha)-L(cf,P,\alpha)\leq\delta$.再根据数学分析原理_定理6.6可得$cf$在$[a,b]$上Riemann-Stieltjes可积.
(2)现在，我证明$\displaystyle\int_a^bcfd\alpha=c\int_a^bfd\alpha$.
这是因为，$\displaystyle\int_a^bcfd\alpha=\inf\{U(cf,P,\alpha):\forall \mbox{分割}P\}$,而$\displaystyle c\int_a^bfd\alpha=c\inf\{U(f,P,\alpha):\forall \mbox{分割}P\}$.现在，我们来看这个问题:实数集$G$有下确界，把$G$中的每一个元素都乘以一个常数$c$,得到实数集$cG$.则$c\inf G=\inf cG$.这是容易证明的.
(3)我要证明若$f_1,f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$，则$f_1+f_2$在$[a,b]$上Riemann-Stieltjes可积.
证明：在$[a,b]$上$f_i\in\mathcal{R}(\alpha)$,意味着对于任意给定的正实数$\varepsilon_i$,都存在相应的划分$P_i$,使得$U(f_i,P_i,\alpha)-L(f_i,P_i,\alpha)\leq\varepsilon_i$,于是，$[U(f_1,P_1,\alpha)+U(f_2,P_2,\alpha)]-[L(f_1,P_1,\alpha)+L(f_2,P_2,\alpha)]\leq\varepsilon_1+\varepsilon_2$.对于任意给定的正实数$\delta$,我们都可以选取相应的$\varepsilon_1,\varepsilon_2$,使得$\varepsilon_1+\varepsilon_2\leq\delta$.因此$f_1+f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$.
(4)下面证明若在$[a,b]$上$f_1,f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$,则$\displaystyle\int_a^bf_1d\alpha+\int_a^bf_2d\alpha=\int_a^b(f_1+f_2)d\alpha$.
证明：这个结论也是显然的.设$P$是对区间$[a,b]$的一个分划，则易得$U(f_1,P,\alpha)+U(f_2,P,\alpha)=U(f_1+f_2,P,\alpha)$(为什么?).因此$\inf\{U(f_1,P,\alpha):\forall\mbox{分割}P\}+\inf\{U(f_2,P,\alpha):\forall \mbox{分割}P\}=\inf\{U(f_1+f_2,P,\alpha):\forall\mbox{分割}P\}$(为什么?).
(b)如果在$[a,b]$上$f_1(x)\leq f_2(x)$,则$$\int_a^bf_1d\alpha\leq\int_a^bf_2d\alpha$$
证明：这是容易的，因为对$[a,b]$的每个分割$P$,我们有$$U(f_1,P,\alpha)\leq U(f_2,P,\alpha)$$因此，$$\inf \{U(f_1,P,\alpha):\forall\mbox{分割}P\}\leq\inf\{U(f_2,P,\alpha):\forall \mbox{分割}P\}$$(为什么?)
(c)如果在$[a,b]$上$f\in\mathcal{R}(\alpha)$,且$a<c<b$,那么在$[a,c]$及$[c,b]$上$f\in\mathcal{R}(\alpha)$,并且$$\int_a^cfd\alpha+\int_c^bf\alpha=\int_a^bfd\alpha$$
证明：“在$[a,c]$及$[c,b]$上$f\in\mathcal{R}(\alpha)$”这一点是容易证明的.下面我来证明那条等式，我只提示一下证明思路：
首先，对于$[a,c]$的任意分划$P_1$和$[c,b]$的任意分划$P_2$来说，
$$U(f,P_1,\alpha)+U(f,P_2,\alpha)=U(f,P_1\bigcup P_2,\alpha)$$而显然$$U(f,P_1\bigcup P_2,\alpha)\geq \int_a^bfd\alpha$$因此$$\int_a^cfd\alpha+\int_c^bfd\alpha\geq \int_a^bfd\alpha$$(为什么?)
设$P$是$[a,b]$的任意分割，则$P\bigcup\{c\}$也是$[a,b]$的一个分割.$P\bigcup\{c\}=(P_1\bigcup \{c\})\bigcup(P_2\bigcup\{c\})$,其中$P_1\bigcup\{c\}$是$[a,c]$的一个分割，$P_2\bigcup\{c\}$是$[c,b]$的一个分割,而显然，$$U(f,P_1\bigcup\{c\},\alpha)+U(f,P_2\bigcup\{c\},\alpha)=U(f,P,\alpha)$$且$$U(f,P_1\bigcup\{c\},\alpha)+U(f,P_2\bigcup\{c\}\geq \int_a^cfd\alpha+\int_c^bfd\alpha$$(为什么?)因此$$\int_a^bfd\alpha\geq\int_a^cfd\alpha+\int_c^bfd\alpha$$综上所述，$$\int_a^cfd\alpha+\int_c^bfd\alpha=\int_a^bfd\alpha$$
注1:Tom M.Apostol的数学分析上也有类似命题,不过鉴于两本书对Riemann-Stieltjes积分的定义不同,因此我也证一次.
数学分析_Tom M.Apostol_定理7.4:
假定$c\in (a,b)$,如果(1)式的三个积分中有两个存在，则第三个也存在，而且有
$$\int_a^cfd\alpha+\int_c^bfd\alpha=\int_a^bfd\alpha$$
证明：$\int_a^bfd\alpha$存在意味着存在实数$L_1$,使得对于任意的正实数$\varepsilon_1$,都存在相应的$[a,c]$的分割$P_1$,使得对于任意$P_1$的加细$P_1'$,都有
$$|S(P_1',\alpha,f)-L_1|<\varepsilon_1$$
$\int_a^bfd\alpha$存在意味着存在实数$L_2$,使得对于任意的正实数$\varepsilon_1$,都存在相应的$[c,b]$的分割$P_2$,使得对于任意$P_2$的加细$P_2'$,都有
$$|S(P_2',\alpha,f)-L_2|<\varepsilon_1$$
易得$P_1'\bigcup P_2'$是区间$[a,b]$的分割.而且
$$S(P_1\bigcup P_2,\alpha,f)=S(P_1,\alpha,f)+S(P_2,\alpha,f)$$
因此
$$|S(P_1'\bigcup P_2',\alpha,f)-(L_1+L_2)|<2\varepsilon_1$$
可见，当$\int_a^cfd\alpha$和$\int_c^bfd\alpha$存在时，$\int_a^bfd\alpha$也相应存在，且
$$\int_a^cfd\alpha+\int_c^bfd\alpha=\int_a^bfd\alpha$$
当$\int_a^bfd\alpha$和$\int_c^bfd\alpha$存在时，由于$\int_a^bfd\alpha$存在，因此存在实数$L$,对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的$[a.b]$的分割$P$,使得对于任意$P$的加细$P'$,都有
$$|S(P',\alpha,f)-L|<\varepsilon$$
由于$\int_c^bfd\alpha$存在，因此存在实数$L_1$,存在$[c,b]$的分割$P_1$,使得对于任意$P_1$的加细$P_1'$,都有$|S(P_1',\alpha,f)-L_1|<\varepsilon$.易得$P_1'\bigcup P'$仍然是$[a,b]$的分割，且$P_1'\bigcup P'$是$P'$和$P_1'$的共同加细.且$P'\bigcup P_1'\bigcup\{c\}$也是$P'$和$P_1'$的共同加细.于是
$$|S(P_1'\bigcup P'\bigcup\{c\},\alpha,f)-L|<\varepsilon$$
下面看对$[a,b]$的分割$(P'\backslash P_1')\bigcup \{c\}$(为什么这是对$[a,b]$的分割?)
易得
$$S((P'\backslash P_1')\bigcup\{c\},\alpha,f)+S(P_1',\alpha,f)=S(P_1'\bigcup P'\bigcup\{c\},\alpha,f)$$(为什么?)
因此
$$S((P'\backslash P_1')\bigcup\{c\},\alpha,f)=S(P_1'\bigcup P'\bigcup\{c\},\alpha,f)-S(P_1',\alpha,f)$$
因此
$$|S((P'\backslash P_1')\bigcup\{c\},\alpha,f)-(L-L_1)|=|S(P_1'\bigcup P'\bigcup\{c\},\alpha,f)-S(P_1',\alpha,f)-(L-L_1)|=|(S(P_1'\bigcup P'\bigcup\{c\}-L)-(S(P_1',\alpha,f)-L_1)|\leq |S(P_1'\bigcup P'\bigcup\{c\}-L|+|S(P_1',\alpha,f)-L_1|\leq 2\varepsilon$$
可见，当$\int_a^bd\alpha$和$\int_c^bd\alpha$存在的时候，$\int_a^cd\alpha$也存在，且满足那个关系式.
(d)如果在$[a,b]$上$f\in\mathcal{R}(\alpha)$且在$[a,b]$上，$|f(x)|\leq M$.那么$$|\int_a^bfd\alpha|\leq M[\alpha(b)-\alpha(a)]$$
证明：设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对区间$[a,b]$的一个分割，则$$U(f,P,\alpha)=\sum_{i=0}^n(\alpha(x_n)-\alpha(x_0))\sup_f[x_i,x_{i+1}]$$由于$|f(x)|\leq M$,因此$|\sup_f[x_i,x_{i+1}]|\leq M$.根据绝对值不等式，我们有
$$|U(f,P,\alpha)|=|\sum_{i=0}^n(\alpha(x_n)-\alpha(x_0))\sup_f[x_i,x_{i+1}]|\leq\sum_{i=0}^n(\alpha(x_n)-\alpha(x_0))|\sup_f[x_i,x_{i+1}]|\leq\sum_{i=0}^n(\alpha(x_n)-\alpha(x_0))M=(\alpha(b)-\alpha(a))M$$
因此，$$|\int_a^bfd\alpha|\leq M[\alpha(b)-\alpha(a)]$$(为什么?)
(e)如果$f\in\mathcal{R}(\alpha_1)$,且$f\in\mathcal{R}(\alpha_2)$,那么$f\in\mathcal{R}(\alpha_1+\alpha_2)$,并且
$$\int_a^bfd\alpha_1+\int_a^bfd\alpha_2=\int_a^bfd(\alpha_1+\alpha_2)$$如果$c$是个正常数，且$f\in\mathcal{R}(\alpha)$,那么$f\in\mathcal{R}(c\alpha)$且$$\int_a^bfdc\alpha=c\int_a^bfd\alpha$$
证明：对于$[a,b]$的任意一个分割$P$,易得
$$U(f,P,\alpha_1)+U(f,P,\alpha_2)=U(f,P,\alpha_1+\alpha_2)$$(为什么?)因此$$\int_a^bfd\alpha_1+\int_a^bfd\alpha_2=\int_a^bfd(\alpha_1+\alpha_2)$$也成立(为什么?)
仿照上面，第二条性质也容易证.