设$a>0$是正实数，那么由$f(x):=a^x$定义的函数$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$是连续的.
证明:即证明$\forall x_0\in\mathbf{R}$,
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}
\end{align*}
即证明
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}a^{x-x_0}=1
\end{align*}
即证明
\begin{align*}
\lim_{\delta\to 0}a^{\delta}=1
\end{align*}
我只用证明
\begin{align*}
\lim_{k\to \infty}a^{\frac{1}{k}}=1
\end{align*}
即可(为什么?提示:夹逼定理).这请见这里.