Darboux中值定理

Darboux 中值定理是反映导函数介值性的一个定理.陈述如下:

(Darboux 中值定理)若函数 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导,$\alpha,\beta\in (a,b)$,且 $\alpha<\beta$,且 $F'(\alpha)<F'(\beta)$,则对于任意的 $k\in (F'(\alpha),F'(\beta))$,必定存在 $\xi\in (\alpha,\beta)$, 使得 $F'(\xi)=k$.

为了证明达布中值定理,我们先考虑它的特殊情形.为此先证明如下引理.

当 $F'(\alpha)<0,F'(\beta)\geq 0$ 时,必定存在 $\xi\in (\alpha,\beta)$,使得 $F'(\xi)=0$.

由于 $F$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续,因此 $F$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上有最大值.设最大值 为 $F(\xi_1)$,其中 $\xi_1\in [\alpha,\beta]$.当 $\xi_1\in (\alpha,\beta)$ 时，显然 $F'(\xi_1)=0$. 当 $\xi_1=\alpha$ 或 $\xi_1=\beta$ 时,根据对称性,我们不妨假设 $\xi_1=\alpha$.则 $F(\alpha)$ 是 $F$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上的最大值.根据连续函数的介值性,必定存在 $\xi_2\in [\alpha,\beta)$,使得 $F(\xi_2)=F(\beta)$.因此根据 Rolle 定理,必定存在 $\xi_3\in (\xi_2,\beta)$,使得 $f'(\xi_3)=0$. 综上所述,引理得证. 

证了这个引理后,下面开始证明 Darboux 中值定理.

令 \begin{equation} G(x)=F(x)-kx \end{equation} 可得 $G'(\alpha)<0$,$G'(\beta)> 0$,则根据引理,可得存在 $\xi\in (\alpha,\beta)$,使得 \begin{equation} \label{eq:1} G'(\xi)=0 \end{equation} 即 $F'(\xi)=k$.