已知多项式$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$.求它在$x=x_0$处的泰勒展开.
解：不断地求导以及赋值，可知$p(x)$在$x=0$处的泰勒展开为\begin{equation}\label{eq:11111}p(0)+\frac{p(0)'}{1!}x+\frac{p(0)''}{2!}x^2+\cdots+\frac{p(0)^{(n)}}{n!}x^n\end{equation}
下面寻求$p(x)$在$x=x_0$处的泰勒展开.采用的方法是带余除法.设$n\geq 1$((n=0)的情况没意思).则$$p(x)=q_0(x)(x-x_0)+b_0$$
(q_0(x)是一个多项式，且它的次数肯定不小于0)
假若此时$q_0(x)$的次数等于0，则停止操作.否则
$$q_0(x)=q_1(x)(x-x_0)+b_1$$
则
$$p(x)=q_1(x)(x-x_0)^2+b_1(x-x_0)+b_0$$
再看$q_1(x)$,假若$q_1(x)$的次数等于0，则停止操作，否则
$$q_1(x)=q_2(x)(x-x_0)+b_2$$
则
$$p(x)=q_2(x)(x-x_0)^3+b_2(x-x_0)^2+b_1(x-x_0)+b_0$$
这样子一直下去，我们知道$q_0(x),q_1(x),q_2(x),\cdots$的次数是递减的，因此迟早会停止.所以$p(x)$能表述成如下：
$$a_n(x-x_0)^n+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+\cdots+a_1(x-x_0)+a_0$$
而且由带余除法中$b_0,b_1,\cdots$的唯一性，我们能得到$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$的唯一性.
然后求导，赋值.求0次导，再令$x=x_0$，可得$a_0=p(x_0)$.求1次导，再令$x=x_0$,可得$a_1=p'(x_0)$.求2次导，再令$x=x_0$,可得$a_2=\frac{p^{(2)}(x_0)}{2!}$……这样子依次求出各系数.
注1:以上用带余除法做其实显得麻烦了,其实只用\ref{eq:11111}平移一下就可以得到结果了.
注2:Elementary methods in number theory 中(如下)的整数的m-adic表示类似于多项式的泰勒展开.他们的基本原理其实都是一样的.
