在介绍ZFC公理化集论之前要先引入不加定义的概念和关系（原始概念和关系是必须的，因为无法再用更简单的东西来定义它们）.ZFC集论有两个不加定义的原始概念：对象，集合.在对象和集合之间，有一个不加定义的原始关系：属于$\in$.
公理1：任意对象$x$和任意集合$A$,下面两种有且仅有一种成立.
（1）$x\in A$
（2）(1)不成立.
当$x$和$A$是情形2时，简记做$x\not\in A$.
公理2：一切集合都是对象.
由公理1和公理2易知
定理1：任意两个集合$A$,$B$,$A\in B$ 或$A\not\in B$.
公理3：集合的相等：两个集合$A$和$B$，$A=B$当且仅当$$\forall x\in A\Leftrightarrow x\in B$$.
定义了集合的相等之后，我们要验证集合相等定义的合理性.什么叫验证集合相等定义的合理性呢？在数学中，两个对象$x$和$y$在满足了四个条件之后，才有可能是相等的.如果我们强硬规定两个对象相等，而这两个对象却无法同时满足那四个条件，那么规定这两个对象相等就是不合理的.所以验证集合相等定义的合理性就是验证是否满足这四个条件.这四个条件分别是:
自反性：任何一个对象$x$,都有$x=x$.
对称性：两个同一类的对象$x$和$y$,如果$x=y$，那么$y=x$.
传递性：三个同一类的对象，若$x=y$,$y=z$,则$x=z$.
互替性：两个同类对象$x$和$y$,若$x=y$,则对于一切和$x$有关运算或命题，把$x$用$y$替换掉之后，如果是运算，那么运算结果相等.如果是命题，那么命题与原来的命题等价.
集合相等的自反性，对称性和传递性验证都是不难的.下面验证集合相等关于$\in$的合理性，也就是互替性的验证.$x\in A$，$A$被$B$替代而得到的$x\in B$,根据定义，$x\in A$和$x\in B$是等价的.所以集合相等的互替性验证对于$\in$关系来说是成立的.集合相等的互替性验证对于其它关系(比如$\bigcap$,$\bigcup$等等)的合理性以后慢慢说，因为我们目前对于集合还只定义了$\in$.
到目前为止，我们讨论集合与对象的关系，集合相等的定义,但是我们还没见到具体的集合.我们用公理规定出一个具体的集合来.
公理4：空集的存在性：存在这么一个集合，用$\emptyset$来标记它.对于一切对象$x$,$x\not\in\emptyset$.
定理2：空集是唯一的.
证明：假若空集不是唯一的，设$\{\}$和$\{\}'$都是空集.下面来证明$\{\}=\{\}'$.所以要证明,$$x\in\{\}\Leftrightarrow x\in\{\}'$$
这根据逻辑中的假能推出假原理，是成立的.
定理3：若一个集合不是空集，则叫它非空集合.假若存在非空集合$A$，那么必存在对象$x$,$x\in A$.
证明：反证.假若对于一切对象$x$,$x\not\in A$,下证$A=\emptyset$.即证$$x\in A\Leftrightarrow x\in\emptyset$$
这根据逻辑中的假推出假原则是成立的.因此$A=\emptyset$,矛盾.因此存在对象，这个对象属于$A$.
只有空集的集合论是无聊的，因此
公理5：单元素集的存在性：如果$a$是一个对象，那么存在这么一个集合,用$\{a\}$来标记它，属于$\{a\}$的对象只有一个$a$.也就是说：$$x\in\{a\}\Leftrightarrow x=a$$
只有$\emptyset$和单元素集的集合论也是无聊的.我们要借助数学归纳法形成2元素集，3元素集……因此
公理6：双并公理：给定两个集合$A$，$B$,存在一个集合$A\bigcup B$,满足$$x\in A\bigcup B\Leftrightarrow x\in A\mbox{或(包含性的或，而非排斥性的或)}x\in B$$
既然定义了双并，我们就要验证集合的双并这种运算是否关于集合相等是合理的.即验证当$A=C$时$C\bigcup B=A\bigcup B$，验证是容易的,关键是要有这种意识.接下来要做的事是定义子集的概念，这不再以一个公理的面貌出现，因为子集的观念是建立在已出现的概念之上的.因此，集合之间的子集关系也不必验证关于集合相等的合理性.由于子集的概念平常书上都有，所以这里就不再列出.
注:用單元素的存在性公理和雙並公理可以推出數對公理(axiom of pair).
有时候，人们会希望从某个集合中挑出一部分具有某种特定性质的元素，然后把这些挑出的元素形成另一个集合.
公理7：分离公理：设$A$是一个集合，并对于每个$x\in A$,$M(x)$是关于$x$的一个性质（$M(x)$非对即错）.那么存在一个集合$\{x\in A:M(x)\mbox{成立}\}$,它满足$$x\in\{x\in A:M(x)\mbox{成立}\}\Leftrightarrow M(x)\mbox{成立}$$
我们要验证分离公理关于集合相等的合理性.即验证当$A=A'$时，$\{x\in A:P(x)\mbox{成立}\}=\{x\in A':M(x)\mbox{成立}\}$.验证是很容易的，关键是要有这样的意识.
使用分离公理，我们能定义两个集合的交，两个集合的差集.两个集合的交和差集不再以公理面貌出现，因为他们建立在已定义过的概念之上.所以也不必检验关于集合相等的合理性.此后，会有重要的摩根律.由于他们在平常书上都有，所以此处略去.
比公理7更强的是
公理8：替换公理：设$A$是一个集合.对于任意的对象$x\in A$和任意的对象$y$,假设有一个关于$x,y$的命题$P(x,y)$.使得对于每一个$x\in A$至多存在一个$y$使$P(x,y)$成立.那么存在一个集合$\{y:P(x,y)\mbox{对于某}x\in A \mbox{成立}\}$，它满足
$$y\in\{y:P(x,y)\mbox{对于某}x\in A\mbox{成立}\}\Leftrightarrow P(x,y)\mbox{对于某}x\in A\mbox{成立}$$
易得，替换公理关于集合相等是合理的，即当$A=A'$时，$\{y:P(x,y)\mbox{对于某}x\in A\}\mbox{成立}=\{y:P(x,y)\mbox{对于某}x\in A'\mbox{成立}\}$.
定理4：替换公理蕴含分离公理
证明：令$P(x,y)$是这样一个性质：当$M(x)$不成立时，$y=x_0$（其中$x_0$是一个固定的，且使$M(x_0)$成立的元素.）当$M(x)$成立时，$y=x$.根据替换公理，所有满足条件的$y$能形成一个集合.易得，所有满足条件的$y$形成的正是这样一个集合:$\{x\in A:M(x)\mbox{成立}\}$.
我们之前引入了空集，之后的双并公理能让我们构造任意大的有限集合.但是下面的这条公理引进了无限(这是不正式的说法，因为我们还没有正式定义有限和无限).
无限公理:存在一个集合$\mathbb{N}$,它的所有元素都是自然数.（自然数的皮亚诺公理理论，请见这里）
ZF集合論還包括了正則公理,見這篇博文.
引入了無限公理後，還會有冪集公理和並公理.
並公理:
注:由單元素集的存在性公理和並公理能推出雙並公理.有人或許會說,公理怎麼可以互相推導呢?請注意,一個公理體系內公理最好具有獨立性,但是即使不具有獨立性也不妨,因爲只要不存在矛盾就可以了.
還有冪集公理:
注意,冪集公理還有另外一種敘述方式,但是這兩種方式其實是等價的.見「陶哲軒實分析」 習題 3.5.11 註記 由冪集公理的兩種等價表述而想到的函數的定義問題 .