设
\begin{align*}
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
\end{align*}
是一个整系数多项式，$r$是它的一个有理根.当$r\neq 0$时，设$r=\frac{p}{q}$.其中$p,q$互质.
\begin{align*}
f(\frac{p}{q})=a_n \frac{p^n}{q^n}+a_{n-1} \frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{p}{q}+a_0=0
\end{align*}
则
\begin{align*}
a_n \frac{p^n}{q}+a_{n-1}p^{n-1}q^0+\cdots+a_1q^{n-2}+a_0q^{n-1}=0
\end{align*}
可见，$a_n\frac{p^n}{q}$是整数.由于$(p^n,q)=1$,可见，$q|a_n$.然后我们看
\begin{align*}
a_0q^{n-1}=-(a_n \frac{p^n}{q}+a_{n-1}p^{n-1}q^0+\cdots+a_1q^{n-2})
\end{align*}
从这里容易得出$p|a_0$(怎么得出?).