zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 用带余除法可以解决一切部分分式的题目

    今晚无眠,用带余除法做了一道复杂的部分分式的题目.

    部分分式分解$$1+\frac{x}{(1+x^2)(2+x^2)(3+x^2)}$$


    解:首先,$(1+x^2)(2+x^2)$与$3+x^2$互素,因此可以化为

    \begin{equation}
    1+x[\frac{P}{(1+x^2)(2+x^2)}+\frac{Q}{3+x^2}]
    \end{equation}

    于是
    \begin{equation}
    P(3+x^2)+Q(1+x^2)(2+x^2)=1
    \end{equation}

    这让人想到Bezout定理,用辗转相除法:

    \begin{equation}
    (1+x^2)(2+x^2)=x^4+3x^2+2=x^2(x^2+3)+2
    \end{equation}.
    于是,可以让
    \begin{equation}
    Q=\frac{1}{2},P=\frac{-1}{2}x^2
    \end{equation}
    所以可以分解为
    \begin{equation}
    1+x[\frac{\frac{-1}{2}x^2}{(1+x^2)(2+x^2)}+\frac{\frac{1}{2}}{3+x^2}]
    \end{equation}

    由于$(1+x^2)$和$(2+x^2)$也是互素的,因此我们把

    \begin{equation}
    \frac{1}{(1+x^2)(2+x^2)}
    \end{equation}分解为

    \begin{equation}
    \frac{M}{1+x^2}+\frac{N}{2+x^2}
    \end{equation}

    于是$M(2+x^2)+N(1+x^2)=1$.再次用辗转相除法,由于
    \begin{equation}
    2+x^2=(1+x^2)+1
    \end{equation}因此可以让
    \begin{equation}
    M=1,N=-1
    \end{equation}
    所以可以分解为
    \begin{equation}
    1+x[\frac{-1}{2}x^2[\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{2+x^2}]+\frac{1}{2}\frac{1}{3+x^2}]
    \end{equation}
    把它化为
    \begin{equation}
    1-\frac{x^3}{2(1+x^2)}+\frac{x^3}{2(2+x^2)}+\frac{x}{6+2x^2}
    \end{equation}
    下面我们继续分解
    \begin{equation}
    \frac{x^3}{1+x^2}
    \end{equation}
    利用带余除法,
    \begin{equation}
    x^3=x(x^2+1)-x
    \end{equation}
    因此
    \begin{equation}
    \frac{x^3}{1+x^2}=x-\frac{x}{x^2+1}
    \end{equation}

    下面我们再分解
    \begin{equation}
    \frac{x^3}{2+x^2}
    \end{equation}
    利用带余除法,
    \begin{equation}
    x^3=x(x^2+2)-2x
    \end{equation}
    因此
    \begin{equation}
    \frac{x^3}{2+x^2}=x-\frac{2x}{x^2+2}
    \end{equation}

    于是可以分解为
    \begin{equation}
    1-\frac{1}{2}(x-\frac{x}{x^2+1})+\frac{1}{2}(x-\frac{2x}{x^2+2})+\frac{x}{6+2x^2}
    \end{equation}
    把它整理一下,即为
    \begin{equation}
    1+\frac{x}{2(x^2+1)}-\frac{x}{x^2+2}+\frac{x}{6+2x^2}
    \end{equation}

    这是完全机械的.

  • 相关阅读:
    Codeforces 992C(数学)
    Codeforces 990C (思维)
    Codeforces 989C (构造)
    POJ 1511 Invitation Cards(链式前向星,dij,反向建边)
    Codeforces 1335E2 Three Blocks Palindrome (hard version)(暴力)
    POJ 3273 Monthly Expense(二分)
    POJ 2566 Bound Found(尺取前缀和)
    POJ 1321 棋盘问题(dfs)
    HDU 1506 Largest Rectangle in a Histogram(单调栈)
    POJ 2823 Sliding Window(单调队列)
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3827970.html
Copyright © 2011-2022 走看看